I – Produit en croix :

On utilise le produit en croix pour résoudre des équations du style :   
On rencontre 4 configurations de base selon la position de la variable.

II – Théorème de Thalès (théorème direct) :

1) Théorème de Thalès:

          Théorème :

Etant données deux droites d et d’ sécantes en A, deux points B et M de d, distincts de A, deux points C et N de d’, distincts de A,

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :  

Il y a trois configurations possibles :

2) Exemples :

Exemple 1 : La figure n’est pas à l’échelle.

 
Les unités sont en centimètres.
AM = 30 ;
AB = 60 ;
AC = 80.
Les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Calculer AN.
Soit x la longueur AN (je déclare ma variable).
Les droites (BM) et (CN) se coupent en A et (BC) // (MN) .
D’après le théorème de Thalès :

Exemple 2 : La figure n’est pas à l’échelle.

 
Les unités sont en centimètres.
(UV) // (JK).
AB = 30 ;
AC = 20 ;
AN = 10 ;
MN = 15.
Calculer AM.

Soit x la longueur AM et y la longueur BC (je déclare mes variables).
Les droites (BM) et (CN) se coupent en A et (BC) // (MN) .
D’après le théorème de Thalès :

III – Réciproque du Théorème de Thalès :

1) Réciproque du Théorème de Thalès :

Etant données deux droites d et d’ sécantes en A, deux points B et M de d, distincts de A, deux points C et N de d’, distincts de A,
                           Si : 

et si les points A, B, M sont dans le même ordre que les points A, C, N,
alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

2) Exemples :

Exemple 1 : Sur la figure ci-contre, on donne :

CF = 2 cm ; CS = 4 cm ; CG = 3 cm ; CT = 6 cm ;
Montrer que (FG) et (ST) sont parallèles.

Exemple 2 : Sur la figure ci-contre, on donne :

EA = 2,8 cm ; EB = 4,2 cm ; EF = 3 cm ; EG = 6 cm ;
Les droites (AB) et (FG) sont-elles parallèles ?

IV – Agrandissement – Réduction :

Les configurations de Thalès traduisent des situations de proportionnalité, et donc des situations d’agrandissement ou de réduction.

Propriété :
Dans un agrandissement (ou une réduction) de rapport k :

– les angles sont conservés,
– le parallélisme est conservé,
– les longueurs sont multipliées (ou divisées) par k,
– les aires sont multipliées (ou divisées) par k²,
– les volumes sont multipliés (ou divisées) par k³.

Méthode :
Pour trouver un coefficient d’agrandissement, on divise 2 longueurs correspondantes.

Sur la figure ci-contre, (A’B’) // (AB) .

Le triangle SAB est un agrandissement du triangle SA’B’.
Soit k le coefficient d’agrandissement :
AB = k × A’B’ , SA= k × SA’ , SB = k × SB’
Si on connaît AB et A’B’, on peut aisément calculer K.

On a alors, en considérant la face A’B’C’D’ parallèle à
ABCD :