I. Centre de symétrie d’un parallélogramme

1- Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère non croisé dont les cotés opposés sont parallèles.
Dans. On dit parfois que ABCD est un parallélogramme de centre O.

2- Propriétés :

1. Un parallélogramme possède un centre de symétrie, qui est le point d’intersection de ses diagonales.

2. Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Sur la figure : Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu O.

3. Dans un parallélogramme, les cotés opposés sont de même longueur.
Sur la figure : AB = CD et AD = BC.

4. Dans un parallélogramme, les angles opposés sont de même mesure.
Sur la figure : ABC = CDA et DAB = BCD.

5. Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires.
Sur la figure : ABC + BCD =180° = BCD + CDA = CDA + DAB = DAB + ABC

II. Constructions de parallélogrammes

Cas n°1 : Connaissant deux côtés consécutifs : avec le compas → (on reporte les longueurs des côtés)

Cas n°2 : Connaissant deux côtés consécutifs : avec la règle et l’équerre → (on trace des parallèles)

Cas n°3 : Construction d’un parallélogramme connaissant un côté et le centre.

Cas n°4 : Construction d’un parallélogramme connaissant une diagonale et un sommet.

III. Reconnaître un parallélogrammes

1. Caractérisation d’un parallélogramme par ses diagonales.

SI les diagonales d’un quadrilatère ont le même milieu, ALORS ce quadrilatère est un parallélogramme.

Exemple : On sait que les diagonales [AC] et [BD] se coupent en leur milieu et ABCD est un quadrilatère non croisé.

Or si les diagonales d’un quadrilatère non croisé se coupent en leur milieu, celui-ci est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.

b. Caractérisation d’un parallélogramme par ses cotés opposés parallèles deux à deux.

SI un quadrilatère (non croisé) a ses cotés opposés parallèles, ALORS ce quadrilatère est un parallélogramme.

(AB) // (CD) et (AD) // (BC)

Exemple : On sait que (EF) = (GH) et (EH) = (FG) et EFGH est un quadrilatère non croisé.

Or si côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont parallèles, celui-ci est un parallélogramme.
Donc EFGH est un parallélogramme.

c. Caractérisation d’un parallélogramme par ses cotés opposés de même longueur.

SI un quadrilatère (non croisé) a ses cotés opposés de même longueur, ALORS ce quadrilatère est un parallélogramme.

Exemple : On sait que AB = CD et AD = BC et ABCD est un quadrilatère non croisé.

Or si côtés opposés d’un quadrilatère non croisé sont de même longueur, celui-ci est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.

d. Caractérisation d’un parallélogramme par deux cotés opposés.

SI un quadrilatère (non croisé) a deux cotés opposés égaux ET parallèles,
ALORS ce quadrilatère est un parallélogramme.

Exemple : On sait que AB = CD et (AB) // (CD) et ABCD est un quadrilatère non croisé.

Or si un quadrilatère non croisé possède deux côtés parallèles et de même longueur, celui-ci est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.

e. Caractérisation d’un parallélogramme par ses angles opposés.

SI un quadrilatère (non croisé) a ses angles opposés de même mesure,
ALORS ce quadrilatère est un parallélogramme.

Exemple : On sait que BAD = BCD et ABC = ADC.
Or si un quadrilatère non croisé possède a ses angles opposés de même mesure, celui-ci est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.