I − Quotient de deux nombres

a. Notion de quotient :

Définition :

Soit a et b deux nombres, avec b non nul.
Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Ce quotient se note a÷b ou a/b.
Exemple :
35 / 7 =35 ÷ 7 =  5 car  7 × 5 = 35

La division par zéro étant interdite, le dénominateur d’un quotient ne peut pas être égal à zéro

b. Nombre en écriture décimale – Nombre en écriture fractionnaire :

Définition : 

Remarques :

c. Notion de fraction :

Définition :

Si a et b sont deux nombres entiers, avec b non nul, le quotient a/b s’appelle une fraction.

Toutes les fractions sont des écritures fractionnaires.

II − Quotient entier et divisibilité

Définition :

Un nombre entier est divisible par un entier quand leur quotient est un entier.
Si la fraction  a/b est égale à un nombre entier, alors on dit que :
a est un multiple de b ou b est un diviseur de a ou a est divisible par b.

Exemple : 42 : 7 = 42/7 = 6   donc  : 6 × 7 = 42
On dit que :

42 est divisible par 6 et 7

42 est un multiple de 6 et 7

6 et 7 sont des diviseurs de 42

42 a pour diviseurs 6 et 7.

Critère de divisibilité par 2 ou 5 :

• Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0 , 2 , 4 , 6 ou 8.
• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.

Critère de divisibilité par 3 ou 9 :

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

Exemples :

56 est divisible par 3, car 1 + 5 + 6 = 12 et 12 est un multiple de 3.
418 n’est pas divisible par 3, car 4 + 1 + 8 = 13 et 13 n’est pas un multiple de 3.
5 373 est divisible par 9, car 5 + 3 + 7 + 3 = 18 et 18 est un multiple de 9.

Critère de divisibilité par 4 :

• Un nombre d’au moins 2 chiffres est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Exemple : 336 est divisible par 4, car 36 est un multiple de 4.

III − Quotients égaux.

a. Propriété des quotients :

Le quotient de deux nombres ne change pas quand on multiplie (ou on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

b. Simplification de fractions :

Simplifier une fraction signifie écrire cette fraction avec un numérateur et un dénominateur plus petits.
On doit toujours simplifier les fractions lors d’un résultat final.
Il importe de bien connaître ses tables de multiplications pour simplifier rapidement les fractions.

Remarque : Lorsqu’une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu’elle est irréductible.

IV − Division de deux nombres décimaux.

Pour diviser à la main par un nombre décimal, on commence par multiplier le diviseur et le dividende par 10, 100, 1000… de façon à rendre le diviseur entier.

Exemple : Diviser 3,48 par 2,4 revient à diviser 34,8 par 24. En effet :

V − Notion de proportion.

La proportion d’une quantité a par rapport à une autre quantité b non nulle est égale au quotient a/b .

Exemple : Au collège Jean Gourmand, trois huitièmes des élèves sont externes.
• On dit que la proportion d’élèves externes est 3/8 .
• Cela signifie que sur 8 élèves, 3 sont externes.