I − Écriture décimale

Définitions

La partie entière d’un nombre est ce qui se trouve devant la virgule (ici 123 456).
La partie décimale d’un nombre est ce qu’il faut ajouter à sa partie entière pour retrouver ce nombre
(ici 0,789 car 123 456 + 0,789 = 123 456,789).
L’écriture classique d’un nombre, donc à virgule (ici 123 456,789)  est appelée écriture décimale de ce nombre.

II − Autres écritures

Définitions

Le nombre 170,616 (c’est déjà l’écriture décimale) admet plusieurs écritures :
— la décomposition (on donne mathématiquement le rang de chaque chiffre

— la fraction décimale (pour la trouver, on écrit au dénominateur le rang du dernier chiffre et au numérateur tout le nombre mais sans la virgule) :

—la fraction simplifiée (on part de la fraction décimale que l’on simplifie avec la « règle d’or » des fractions :

— la somme d’un entier et d’une fraction décimale (on sépare la partie entière et la partie décimale;
attention : la partie décimale doit être écrite sous forme d’une fraction décimale!) :

— L’écriture en toutes lettres (on traduit en français la somme d’un entier et d’un nombre décimal ;
attention donc aux tirets qu’on ne met qu’entre les mots représentant des nombres!) :
170,616 s’écrit donc « cent-soixante-dix et six-cent-seize millièmes ».

Application : Donner toutes les écritures possibles du nombre 2 387,15

III − Zéros inutiles

Propriété

Dans un nombre, on peut enlever les zéros qui :
− se trouvent au début de la partie entière 
− se trouvent à la fin de la partie décimale
− mais jamais ceux qui sont entourés par deux chiffres non nuls !

Exemples :

• 25 = 25,0 →le nombre 25 est à la fois un nombre entier et un nombre décimal.
• 93,350 = 93,35
• 210,020 = 210,02                 
• 001,0230 = 1,023

IV − Valeurs approchées (ou arrondis)

Méthode (arrondir un nombre au dixième)

1. On commence par tracer un trait juste après le chiffre des dixièmes.
2. On barre tout ce qui est à droite de ce trait.
3. On regarde le premier chiffre barré : s’il vaut

— 0, 1, 2, 3 ou 4, alors c’est fini.
— 5, 6, 7, 8 ou 9, alors on ajoute 1 au nombre de dixièmes (attention donc si le chiffre des dixièmes vaut 9. . . )

L’arrondi se trouve alors à gauche du trait.

Exemples :

Arrondi de 5,12 au dixième : 5,12 → 5,1

Arrondi de 123,456 7 au centième : 123,45 → 123,46

Arrondi de 987,654 à l’unité : 987,654 → 988

Arrondi de 67,895  au centième : 67,895   → 67,90

Δ   ATTENTION

On utilise obliigatoirement le symbole «≈» lorsqu’on donne un résultat arrondi. On écrira donc :

5,12 ≈ 5,1

123,456 7 ≈ 123,46

987,654 ≈ 988

67,895 ≈ 67,9

V − Demi-droite graduée

1. Avec des graduations décimales

Définition

On appelle demi-droite graduée une demi-droite qui possède une origine (toujours le zéro), un sens (représenté par une flèche) et une unité de longueur fixée (généralement le cm) :

Propriété

Sur une demi-droite graduée, chaque point est représenté par un nombre qui est son abscisse. Inversement, à
chaque nombre correspond un point unique. « Le point P d’abscisse 3,5 » s’écrit mathématiquement « P(3;5) ».

Exemples : Sur la figure suivante ,

⋄ L’abscisse du point C est 4 : C(4)
⋄ Le nombre 1 est l’abscisse du point B : B(1)
⋄ L’origine (ici A) a toujours pour abscisse 0 : A(0)
⋄ Où et comment placer le pointD(2;5)?

VI − Comparaison

Définition

Comparer deux nombres revient à dire si le premier est inférieur, supérieur ou égal au deuxième.

Notations : a et b désignent deux nombres décimaux quelconques.

⋄ a < b → a est inférieur à b : par exemple 1,8 < 2
⋄ a > b → a est supérieur à b : par exemple 10 > 7,5
⋄ a = b → a est égal à b : par exemple 93,440 = 93,44.

L’égalité sera rarement abordée,maismettra surtout l’accent sur la capacité à savoir gérer les zéros inutiles. . .

Comment faire pour comparer deux nombres décimaux?

Exemples :

⋄ 12,9 > 7,45 : la comparaison des parties entières a suffi.
⋄ 26,34 < 32,12 : ici aussi, la comparaison des parties entières a suffi.
⋄ 1,34 > 1,27 :
les parties entières sont égales, donc on a comparé les parties décimales constituées chacune de deux chiffres.
⋄ 12,242 > 12,100 car 242 > 70 :
les parties entières sont égales, mais il a fallu ajouter deux zéros inutiles à 12,1 pour pouvoir comparer les
parties décimales.
⋄ 98,20 > 98,14 car 20 > 14 : des fois, c’est au premier nombre qu’il faudra ajouter les zéros inutiles !

Δ  ATTENTION !!!

Certains élèves pensent que 98,2 < 98,14 parce que 2 < 14 : on ne peut jamais comparer deux nombres
s’ils n’ont pas lemême nombre de chiffres après la virgule! !

VII − Ranger, encadrer ou intercaler des nombres

Définition

Ranger une liste de nombres dans :
• l’ordre croissant signifie les écrire du plus petit au plus grand, en les séparant par le symbole « < ».
• l’ordre décroissant signifie le contraire. On utilise alors le symbole « > ».

Exemple :  Si l’on considère les nombres 20,12 – 22,3 – 17,3 et 22,22, alors :
• un rangement dans l’ordre croissant donne : 17,2 < 20,12 < 22,22 < 22,3.
• un rangement dans l’ordre décroissant donne : 22,3 > 22,22 > 20,12 > 17,2.

Définition

Donner un encadrement d’un nombre revient à trouver deux autres nombres : l’un inférieur au nombre
de départ et l’autre supérieur. La soustraction de ces deux nombres donne l’amplitude.

Exemples : Encadrer 17,8 par deux autres nombres signifie donc le « coincer » entre ces deux nombres, par exemple
17,5 < 17,8 < 20 : on dit que 17,8 est encadré par 17,5 et 20.
On demande souvent d’encadrer un nombre par deux entiers consécutifs (= qui se suivent), il faut alors trouver
l’entier (= nombre sans virgule) qui est juste en-dessous du nombre et celui juste au-dessus :
17 < 17,8 < 19 : on dit que 17,8 est encadré par 17 et 18.

Définition

Intercaler un nombre revient au contraire à le coincer entre deux autres nombres donnés. Nombres décimaux 6ème

Exemple : Si l’on demande d’intercaler un nombre entre 5 et 10, on va écrire par exemple 5 < 7 < 10 : on a bien intercalé 7 entre 5 et 10.