Quelques résolutions algébriques d’équations

Propriété  : Règle du produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est égal à 0.

Exemple
On souhaite résoudre dans ℝ l’équation (2x + 1)(x – 7) = 0.
(2x + 1)(x – 7) = 0 si et seulement si au moins l’un des facteurs vaut 0.
C’est-à-dire : 2x + 1 = 0 ou x – 7 = 0 ⇔ 2x = –1 ou x = 7 ⇔ x = –1/2 ⇔ ou x = 7.

Donc 𝒮 = {-1/2 ; 7}

Propriété  : Résolution de l’équation x² = k

On considère l’équation x² = k avec k appartenant à ℝ.
• Si k < 0, l’équation x² = k n’a aucune solution réelle.
• Si k = 0, l’équation x² = k a une seule solution réelle x = 0.
• Si k > 0, l’équation x² = k a deux solutions réelles x = k et x = – k .

Démonstration

x² = k ⇔ x² – k = 0.
• Si k < 0, l’équation x² = k n’a pas de solution car le carré de tout nombre réel est positif.
• Si k = 0, on obtient x² = 0 ⇔ x × x = 0 ⇔ x = 0. Il n’y a donc qu’une seule solution : x = 0.
• Si k > 0 alors k = ( k )². L’équation est alors équivalente à x² – ( k )² = 0.
Par factorisation en utilisant l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b), on obtient :
x² = k (x + k )(x – k ) = 0
⇔ x + k = 0 ou x – k = 0
⇔ x = – k ou x = k.
Donc si k > 0, l’équation x² = k a deux solutions : x = k et x = – k.

Exemples
1- x² = 64 ⇔ x = 64 ou x = – 64 ⇔ x = 8 ou x = – 8. Donc 𝒮 = {– 8 ; 8}.
2-  Pour résoudre dans ℝ l’équation (2x + 4)² = 9, on utilise la propriété précédente de la manière suivante :
(2x + 4)² = 9 ⇔ 2x + 4 = 9 ou 2x + 4 = – 9.
⇔ 2x + 4 = 3 ou 2x + 4 = –3 ⇔ 2x = –1 ou 2x = –7 ⇔ x = –1/2 ou x =–7/2.

Donc 𝒮 = {–1/2; –7/2}.

Remarque:  On peut aussi utiliser une factorisation pour résoudre ce type d’équations.

Propriété : Résolution de l’équation √x = k

On considère l’équation x = k avec k appartenant à ℝ.
• Si k < 0 l’équation x = k n’a aucune solution réelle.
• Si k ⩾ 0 l’équation x = k a une seule solution réelle x = k².

Exemple
Résolution d’équation x = 4 a pour solution x = 4² = 16.

Propriété : Quotient nul

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est égal à 0 et son dénominateur est non nul.

Remarque

La (les) valeurs pour la(les)quelle(s) le dénominateur s’annule est (sont) appelée(s) valeurs interdites. En effet, comme nous ne pouvons pas diviser par 0, le calcul ne peut pas être effectué.

Exemple

Propriété  : Résolution de l’équation 1

On considère l’équation 1/x = k avec k appartenant à ℝ :
• Si k = 0, l’équation 1/x = k  n’a aucune solution réelle.
• Si k ≠ 0, l’équation 1/x = k  a une seule solution réelle x = 1/k.
Exemple
Résolution d’équation 1/x = 6 a pour solution x =1/6
.