PGCD
Les exercices corrigés en PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) .
Exercice 1:
a. Écrire la liste des diviseurs de 42 dans l’ordre croissant :
b. Écrire la liste des diviseurs de 63 dans l’ordre croissant :
c. Quels sont les diviseurs communs à 42 et 63 ?
d. Quel est le PGCD de 42 et 63 ?
a. Les diviseurs de 42 sont : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 et 42.
b. Les diviseurs de 63 sont : 1, 3, 7, 9, 21 et 63.
c. Les diviseurs communs à 42 et 63 sont 1, 3 , 7 et 21.
d. Le PGCD de 42 et 63 est 21.
Exercice 2:
a. Écrire la liste des diviseurs de 28 dans l’ordre croissant :
b. Écrire la liste des diviseurs de 39 dans l’ordre croissant :
c. Quels sont les diviseurs communs à 28 et 39 ?
d. Quel est le PGCD de 28 et 39 ?
a. Les diviseurs de 28 sont : 1, 2, 4, 7, 14 et 28.
b. Les diviseurs de 39 sont : 1, 3, 13 et 39.
c. Le seul diviseur commun à 28 et 39 est 1.
d. Le PGCD de 28 et 39 est 1.
Exercice 3:
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis indiquer leur PGCD :
a) 15 et 27 ; b) 35 et 14 ; c) 4 et 8 ;
d) 25 et 65 ; e) 18 et 16 ; f) 15 et 14.
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis indiquer leur PGCD :
a) Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27.
Les diviseurs communs de 15 et 27 sont 1 et 3.
Donc : PGCD ( 15;27 ) = 3 .
b) Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
Les diviseurs communs de 35 et 14 sont 1 et 7.
Donc : PGCD (35;14 ) = 7 .
c) Les diviseurs de 4 sont : 1 ; 2 ; 4.
Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8.
Les diviseurs communs de 4 et 8 sont 1 ; 2 et 4.
Donc : PGCD ( 4;8 ) = 4 .
d) Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
Les diviseurs de 65 sont : 1 ; 5 ; 13 ; 65.
Les diviseurs communs de 25 et 65 sont 1 et 5.
Donc : PGCD ( 25;65 ) = 5.
e) Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Les diviseurs communs de 18 et 16 sont 1 et 2.
Donc : PGCD (18;16 ) = 2.
f) Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
15 et 14 n’ont qu’un seul diviseur commun : 1.
Donc : PGCD (15;14 ) = 1.
Exercice 4:
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis indiquer leur PGCD :
a) 15 et 27 ; b) 35 et 14 ; c) 4 et 8 ;
d) 25 et 65 ; e) 18 et 16 ; f) 15 et 14.
Déterminer les diviseurs communs aux deux nombres, puis indiquer leur PGCD :
a) Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27.
Les diviseurs communs de 15 et 27 sont 1 et 3.
Donc : PGCD (15;27) = 3
b) Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
Les diviseurs communs de 35 et 14 sont 1 et 7.
Donc : PGCD (35;14) = 7
c) Les diviseurs de 4 sont : 1 ; 2 ; 4.
Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8.
Les diviseurs communs de 4 et 8 sont 1 ; 2 et 4.
Donc : PGCD (4;8) = 4
d) Les diviseurs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
Les diviseurs de 65 sont : 1 ; 5 ; 13 ; 65.
Les diviseurs communs de 25 et 65 sont 1 et 5.
Donc : PGCD (25;65) = 5
e) Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Les diviseurs communs de 18 et 16 sont 1 et 2.
Donc : PGCD (18;16) = 2
f) Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
15 et 14 n’ont qu’un seul diviseur commun : 1.
Donc : PGCD (15;14) = 1
Exercice 5:
Déterminer le PGCD des deux nombres sans écrire la liste de leurs diviseurs.
a) 5 et 10 ; b) 150 et 75 ; c) 71 et 355.
Déterminer le PGCD des deux nombres sans écrire la liste de leurs diviseurs.
a) 5 divise 10 (car 10 est le double de 5), donc : PGCD (5;10 ) = 5 .
b) 75 divise 150 (car 150 est le double de 75), donc : PGCD (150;75 ) = 75 .
c) 71 divise 355 (car 355 71 5 = × et 5 est entier), donc : PGCD( 71;355 ) = 71 .
Exercice 6:
1. Calculer PGCD (39 ; 135).
2. Christophe a un champ rectangulaire qu’il veut clôturer. Les dimensions du champ sont, en mètres, 39 sur 135. Il veut planter des poteaux à distance régulière supérieure à 2 m et mesurée par un nombre entier en mètres. De plus, il place un poteau à chaque coin.
a. Quelle est la distance entre deux poteaux ?
b. Combien de poteaux doit-il planter ?
a. La distance entre deux poteaux sera le pgcd (39 ; 135).
Pgcd (39 ; 135) = 3 vous pouvez utilisez la calculatrice pour calculer le pgcd.
(Voir la notice de votre calculatrice)
b. 39 :3= 13 et 135 : 3=45 donc le nombre total des poteaux nécessaires est
13X2 +45X2 = 26+90 = 116 C’est le nombre de poteaux qu’il faut.
Exercice 7:
Les dimensions d’une caisse sont 105 cm, 165 cm et 105 cm. On veut réaliser des boîtes cubiques, les plus
grandes possibles, qui permettent de remplir entièrement la caisse.
Quelle doit être l’arête de ces boites et combien de telles boites peut-on placer dans la caisse ?
On calcule le pgcd (105 ; 165)
Avec la calculatrice on trouve : Pgcd (105 ;165) = 15.
Donc l’arête de la boite cubique est 15 cm.
Donc en Longueur on peut placer 165 : 15 = 11 boites ; en Largeur on peut placer
105 : 15 = 7 boites il en est de même en hauteur : 105 : 15 = 7
Donc le nombre de boites qu’on peut ranger dans la caisse est 7x7x11= 539 boites.
Exercice 8:
Une pièce rectangulaire mesure 4,2 m sur 8,7 m. Son sol est couvert de dalles entières et carrées.
1.Quelle est la plus grande dimension possible pour chacune de ces dalles ?
2. Combien faut-il alors de ces dalles pour couvrir le sol de la pièce ?
1. D’abord on fait une conversion pour n’avoir que des entiers :
4,2 m = 42 dm et 8,7m = 87 dm.
Donc pgcd (42 ; 87) = 3 donc la plus grande dimension des dalles est 3dm x 3dm
C’est un carré de 30Cm de côté.
2. 42 : 3 = 14 et 87 : 3 = 29. Donc le nombre de dalles nécessaires est 14 x29 = 406 dalles.
Exercice 9:
1. Simplifie au maximum la fraction 270
210 en précisant à chaque étape par quel nombre cette fraction a été simplifiée.
2. Détermine le PGCD de 210 et 270.
3. Par quel nombre doit être simplifiée la fraction 270/210 afin de devenir irréductible ?
1. Simplifie au maximum la fraction 270/210 en précisant à chaque étape par quel nombre cette fraction a été simplifiée.
(270÷10)/(210÷10) = 27/21 = (27÷3)/(21÷3) = 9/7
2. Détermine le PGCD de 210 et 270.
Les diviseurs de 210 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210.
Ceux de 270 sont : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270.
Le plus grand des diviseurs communs est 30,
donc PGCD(210; 270) = 30.
3. Par quel nombre doit être simplifiée la fraction 270/210 afin de devenir irréductible ?
Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD (ici 30, d’après la question précédente), alors elle deviendra irréductible.
Exercice 10:
Exercice 11:
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