Divisions 

La division est généralement utilisée dans des problèmes de partage équitable ou de juste répartition.
De l’opération 5 × 7 = 35 découlent deux divisions : (voir cours additions et multiplications)
35 ÷ 5 = 7                        → 7 est le quotient de 35 par 5.
et 35 ÷ 7 = 5                   → 5 est le quotient de 35 par 7.

I. Division par  10 ; 100 ; 1000 (Rappel) :

Propriété :

Diviser un nombre par 10 ou 100 ou 1000 revient à le multiplier par 0,1 ou 0,01 ou 0,001.
Exemples : 7 9, 5 4 : 1 0 = 7 9, 5 4 × 0, 1 = 7, 9 5 4
                     7 9, 5 4 : 1 0 0 0 = 7 9, 5 4 × 0, 0 0 1 = 0, 0 7 9 5 4

II.  Division euclidienne (Gestion des retenues)

Définition :

La division euclidienne d’un nombre entier, appelé dividende, par un nombre entier différent de zéro, appelé diviseur, revient à trouver deux nombres, appelés quotient et reste, vérifiant :
                  dividende = diviseur × quotient entier + reste.

VERIFICATION : 13 × 68 + 9 = 893

Vocabulaire :

On dit que 68 est le quotient entier de la division euclidienne de 893 par 13.
893 – (13 ×68 ) = 19 . Le reste de cette division est 9.
893 s’appelle le dividende et 13 s’appelle le diviseur.

Propriété :

Le RESTE doit toujours être inférieur au DIVISEUR.

Méthode :

Si le diviseur est un nombre à deux chiffres (ou plus), on utilise l’ordre de grandeur du dividende et du diviseur pour trouver les différents chiffres constituant le quotient.

III.  Définitions :  Multiples et Diviseurs

Définition :

Si le reste de la division euclidienne d’un nombre entier a par un nombre entier non nul b est égal à 0, on dit
que :

– a est un multiple de b,
– b est un diviseur de a,
– a est divisible par b.

Exemple :
105 = 15 ×7 + 0 = 15 × 7 
La division euclidienne de 105 par 7 donne un reste nul : 105 = 15 ×7
On peut dire que :

105 est un multiple de 7
7 est un diviseur de 105
105 est divisible par 7

Remarques :

1) On ne peut pas diviser par 0.
2) Ne confondez pas le diviseur d’un nombre et le diviseur dans une division euclidienne.

IV.  Critères de divisibilités

Critère de divisibilité par 2 , par 5 ou par 10 :

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 , 2 , 4 , 6 ou 8.
• Un nombre est divisible par 5 son chiffre des unités est 0 ou 5.
• Un nombre est divisible par 10 son chiffre des unités est 0.

Critère de divisibilité par 3 ou par 9 :

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Critère de divisibilité par 4 :
• Un nombre d’au moins 2 chiffres est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre
divisible par 4.

Exemple : 348 est divisible par 2 ; 3 ; 4 mais n’est pas divisible par 5 et par 9 :

– Il finit par un chiffre pair : 2,
– 3 + 4 + 8 = 15 et 15 est divisible par 3,
– 48 est divisible par 4,
– 348 ne finit ni par 0, ni par 5,
– 3 + 4 + 8 = 15 et 15 n’est pas divisible par 9.

V.  Division décimale

Définition :

Soit a un nombre décimal et b un nombre entier non nul.
On appelle quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Ce nombre est appelé le quotient du dividende par le diviseur.
               dividende = diviseur × quotient.
Si le reste d’une division décimale est égal à zéro, on obtient la valeur décimale exacte du quotient.
Si le reste d’une division décimale est différent de zéro, on obtient une valeur décimale approchée par défaut du quotient.

VI. Arrondi d’un nombre : 

Définition :

L’arrondi à l’unité d’un nombre est la valeur approchée à l’unité la plus proche de ce nombre.
Pour l’obtenir, on regarde le chiffre des dixièmes :
si le chiffre des dixièmes est 0, 1, 2, 3 ou 4, l’arrondi est la valeur approchée par défaut à l’unité,
si le chiffre des dixièmes est 5, 6, 7, 8 ou 9, l’arrondi est la valeur approchée par excès à l’unité.
Exemples :
L’arrondi à l’unité de 85,472 est 85 car le chiffre des dixièmes est 4.
L’arrondi à l’unité de 85,672 est 86 car le chiffre des dixièmes est 6.

Définition :

L’arrondi au dixième d’un nombre est la valeur approchée au dixième la plus proche de ce nombre.
Pour l’obtenir, on regarde le chiffre des centièmes, en utilisant la méthode ci-dessus.
Exemples :
L’arrondi au dixième de 85,432 est 85,4 car le chiffre des centièmes est 3.
L’arrondi au dixième de 85,672 est 85,7 car le chiffre des centièmes est 7.

Définition : Division des nombres décimaux

On peut aussi arrondir un nombre au centième, au millième,… de la même manière.
Exemples :
L’arrondi au centième de 85,472 est 85,47 car le chiffre des millièmes est 2.
L’arrondi au millième de 85,4728 est 85,473 car le chiffre des dix-millièmes est 8