On peut additionner deux vecteurs qui a des propriétés semblables à celles de l’addition des nombres.

1- Relation de Chasles

Quels que soient les points A, B et C :

Le vecteur est la somme des vecteurs

Remarque
On peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur AB représente un déplacement de A vers B et le vecteur BC représente un déplacement de B vers C ; la somme de ces deux déplacements est un déplacement de A vers C qu’on représente par le vecteur .

Attention
La relation de Chasles  (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les points A, B et C.
La relation AB + BC = AC (qui concerne des distances) n’est vérifiée que si le point B est sur le segment [AC]; de manière générale on ne peut affirmer que AB + BC ≥ AC.

2- Règle du parallélogramme

Quels que soient les points A, B, C et D :
On a l’égalité si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

3- Propriétés de l’addition des vecteurs

L’addition des vecteurs a des propriétés semblables à celles de l’addition des nombres réels.
a) Suite d’additions de vecteurs
Lorsqu’on effectue une somme de plusieurs vecteurs, on peut modifier l’ordre des termes ou regrouper plusieurs termes sans modifier le résultat.
b) Vecteur nul
Pour tout point A, le vecteur  est appelé vecteur nul; on le note . On ne modifie pas un vecteur en lui ajoutant le vecteur nul.
c) Vecteurs opposés
Deux vecteurs sont opposés lorsque leur somme est égale au vecteur nul, ils ont alors même longueur et même direction mais des sens différents.

Ainsi, quels que soient les points A et B, les vecteurs AB et BA sont opposés.
On écrit :

d) Soustraction des vecteurs
Pour soustraire un vecteur il suffit d’ajouter son opposé.
Quels que soient les points A, B et C: