Triangle Rectangle et Cercle -cours et exercices corrigés
1- SI un triangle ABC est rectangle en A ALORS ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI un triangle ABC est rectangle en B ALORS ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [……]
b. SI un triangle DEF est rectangle en F ALORS ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [……]
c. SI un triangle IJK est rectangle en I ALORS ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [……]
2- SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC] ALORS ABC est rectangle en A
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] ALORS ……. est rectangle en ….
b. SI DEF est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [DE] ALORS ……. est rectangle en ….
c. SI IJK est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [JK] ALORS ……. est rectangle en ….
3- SI l’angle BMC est droit ALORS le point M appartient au cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI l’angle ABC est droit ALORS le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
b. SI l’angle EMF est droit ALORS le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
c. SI l’angle SAT est droit ALORS le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
4- SI un point M appartient au cercle de diamètre [BC] ALORS l’angle BMC est droit
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI un point A appartient au cercle de diamètre [IJ] ALORS l’angle ………. est droit
b. SI un point C appartient au cercle de diamètre [AB] ALORS l’angle ………. est droit
c. SI un point O appartient au cercle de diamètre [KL] ALORS l’angle ………. est droit
1- SI un triangle ABC est rectangle en A ALORS ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI un triangle ABC est rectangle en B ALORS ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AC]
b. SI un triangle DEF est rectangle en F ALORS DEF est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [DE]
c. SI un triangle IJK est rectangle en I ALORS IJK est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [JK]
2- SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC] ALORS ABC est rectangle en A
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB] ALORS ABC est rectangle en C
b. SI DEF est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [DE] ALORS DEF est rectangle en F
c. SI IJK est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [JK] ALORS IJK est rectangle en I
3- SI l’angle BM^C est droit ALORS le point M appartient au cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI l’angle ABC est droit ALORS le point B appartient au cercle de diamètre [AC]
b. SI l’angle EMF est droit ALORS le point M appartient au cercle de diamètre [EF]
c. SI l’angle SAT est droit ALORS le point A appartient au cercle de diamètre [ST]
4- SI un point M appartient au cercle de diamètre [BC] ALORS l’angle BM^C est droit
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI un point A appartient au cercle de diamètre [IJ] ALORS l’angle IAJ est droit
b. SI un point C appartient au cercle de diamètre [AB] ALORS l’angle ACB est droit
c. SI un point O appartient au cercle de diamètre [KL] ALORS l’angle KOL est droit
1- Sans tracer les médiatrices de ces 3 triangles, construire leur cercle circonscrit :
2- Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ?
(O est le centre du cercle).
1- Sans tracer les médiatrices de ces 3 triangles, construire leur cercle circonscrit :
2- Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ?
(O est le centre du cercle).
Sans utiliser l’équerre…
a. Construire un triangle ABC rectangle en C tel
que AC = 3 cm.
b. Construire un triangle DEF rectangle en E tel
que FD^E = 45°.
Sans utiliser l’équerre…
a. Construire un triangle ABC rectangle en C tel
que AC = 3 cm.
b. Construire un triangle DEF rectangle en E tel
que FD^E = 45°.
Sans utiliser l’équerre…
a. Construire le point M tel que les triangles ABM et BCM soient rectangles en M.
b. Construire un point M tel que les triangles ABM
et CDM soient rectangles en M.
c. Construire deux points M et N tels que les
triangles ABM, ABN, CDM et CDN soient rectangles
en M et N.
Sans utiliser l’équerre…
a. Construire le point M tel que les triangles ABM et BCM soient rectangles en M.
b. Construire un point M tel que les triangles ABM
et CDM soient rectangles en M.
c. Construire deux points M et N tels que les
triangles ABM, ABN, CDM et CDN soient rectangles
en M et N.
ABC est un triangle rectangle en A, tel que BC = 5 cm. O est le milieu de [BC].
a. Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?
PUISQUE ………………………………………………………
ALORS …………………………………………………………
b. En déduire l’égalité de 3 longueurs :
……… = ……… = ………
c. Combien mesure le segment [AO] ? Expliquer.
a. Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?
PUISQUE le triangle ABC est rectangle en A
ALORS le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [BC].
b. En déduire l’égalité de 3 longueurs :
OA = OB = OC
c. Combien mesure le segment [AO] ? Expliquer.
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de
l’hypoténuse.
Donc :
OA = 1/2 BC = 1/2 × 5 = 2,5 cm.
DEF est un triangle rectangle en E. Le point I est le milieu de l’hypoténuse. La médiane [EI] mesure 5 cm.
• Combien mesure l’hypoténuse ? Expliquer.
DEF est un triangle rectangle en E. Le point I est le milieu de l’hypoténuse. La médiane [EI] mesure 5 cm.
• Combien mesure l’hypoténuse ? Expliquer.
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de
l’hypoténuse.
Donc : DF = 2× IE = 2×5 = 10cm.
O milieu de [IJ] et K est tel que OK= OJ.
Montrons que le triangle IJK est rectangle en K.
a. Placer les points O et K.
b. Pourquoi les points I, J et K appartiennent-ils au même cercle ?
c. Citer la caractérisation d’un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.
O milieu de [IJ] et K est tel que OK= OJ.
Montrons que le triangle IJK est rectangle en K.
a. Placer les points O et K.
b. Pourquoi les points I, J et K appartiennent-ils au même cercle ?
OI = OJ = OK donc les segments [OI], [OJ] et [OK] sont trois rayons d’un cercle de centre O
passant par I.
c. Citer la caractérisation d’un triangle rectangle appliquée à cet énoncé.
PUISQUE K appartient au cercle de diamètre [IJ]
ALORS le triangle IJK est rectangle en K.
DEF est un triangle isocèle en D. E’ est le symétrique de E par rapport D.
Démontrer que le triangle EFE’ est rectangle en F.
On sait que E’ est le symétrique de E par rapport D.
Propriété : Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment par par un point et
son symétrique.
Donc les points E, D et E’ sont alignés et DE = DE’.
On sait que la médiane [DF] relative au côté [EE’] mesure la moitié de ce côté.
Propriété : Dans un triangle, si la médiane relative à un côté mesure la moitié de la longueur de ce côté, ce triangle est rectangle.
Donc le triangle EFE’ est rectangle en F.
(C) est un cercle de centre O. A et M sont deux points de (C) non diamétralement opposés. La
perpendiculaire en M à (AM) recoupe (C) en B.
a. Faire une figure.
b. Démontrer que O est le milieu de [AB].
N est un autre point du cercle (C).
c. Démontrer que ANB est un triangle rectangle.
a.
b. Démontrer que O est le milieu de [AB].
On sait que le cercle de centre O est le cercle circonscrit du triangle ABM rectangle en M.
Propriété : Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Donc O est le milieu de l’hypoténuse [AB].
N est un autre point du cercle (C).
c. Démontrer que ANB est un triangle rectangle.
On sait que le cercle de diamètre [AB] est le cercle circonscrit du triangle ABN.
Propriété : Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Donc le triangle ABN est rectangle en N.
1- ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 12 cm AC = 16 cm
Calculer la longueur BC.
2- ABC est un triangle tel que : AB = 4,5 cm AC = 2,7 cm BC = 3,6 cm
Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
3- LMN est un triangle rectangle en L tel que : LM = 6,8 cm MN = 6,89 cm
Calculer la longueur LN.
4- DEF est un triangle tel que : DE = 15,3 cm DF = 10,7 cm EF = 18,2 cm
Ce triangle est-il rectangle ?
5- ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 7,2 cm BC = 15,3 cm
Calculer la longueur AC.
6- DEF est un triangle rectangle en D tel que : DE = 16,8 cm EF = 23,2 cm
Calculer la longueur DF.
7- IJK est un triangle tel que : IJ = 2,04 cm IK = 5,96 cm JK = 5,6 cm
Démontrer que IJK est un triangle rectangle.
8- IJK est un triangle rectangle en K tel que : IK = 7 cm JK = 2,4 cm
Calculer la longueur IJ.
9- LMN est un triangle tel que : LM = 35,3 cm LN = 22,5 cm MN = 27,2 cm
Ce triangle est-il rectangle ?
10- DEF est un triangle rectangle en E tel que : DE = 34,4 cm EF = 72,8 cm
Calculer un arrondi au mm de la longueur DF.
Identifier pour chaque triangle le coté adjacent à l’angle marqué d’un arc puis compléter le tableau.
Identifier pour chaque triangle le coté adjacent à l’angle marqué d’un arc puis compléter le tableau. 
1- Calculer les mesures des 3 angles de ce triangle :
2- Calcul de la longueur de la diagonale [AC] de ce losange: 
1- 
2-
a. Calculer la longueur AH.
b. Calculer la longueur BH.
c. Calculer la longueur AC.
d. Calculer la longueur CH.
[On arrondira les longueurs au mm]
Un personnage mesurant 1,80 m se trouve à 10 m du pied d’un arbre. Alors qu’il regarde la cime, son regard fait un angle de 30° avec l’horizontale.
Quelle est la hauteur de l’arbre (arrondie au dm)?
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