• Définition d’un nombre rationnel (rappel) :

On appelle nombre rationnel un nombre qui peut s’écrire comme quotient de deux entiers relatifs.

On dit qu’un réel a est un nombre rationnel s’il peut s’écrire sous la forme p/q où p et q sont deux entiers relatifs (q ≠ 0).

• Propriété (admise sans démonstration) :

– Tout nombre réel peut s’écrire sous la forme d’une suite décimale illimitée.
– Si la suite décimale illimitée est périodique, le nombre réel est un nombre rationnel (quotient de deux entiers).

 Exemples de nombre rationnels : 

La barre placée sous la période signifie qu’elle est répétée indéfiniment.

La suite des décimales peut être périodique seulement à partir d’un certain rang. Nombre rationnel et irrationnel

Nombre irrationnel : son écriture décimale illimitée est non périodique et n’est pas constituée de 0 à partir d’un certain rang.

Un exemple très important de nombre irrationnel : π
π = 3,141592653589…
La suite des décimales du nombre π ne comporte pas de période.
Le mathématicien Lambert a démontré au XVIIIe siècle que π est un nombre irrationnel. Par conséquent l’écriture décimale du nombre π ne possède pas de période.
Nous parlerons ultérieurement des fractions associés au nombre π.

Il y a un poème permettant de retenir les décimales de π :
« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages, Ô immortel Archimède… »

Un autre nombre irrationnel important : √2

√2 = 1,414213…
On a démontré dès l’antiquité (Euclide) que √2 est un nombre irrationnel.
Par conséquent, l’écriture décimale de √2 ne comporte pas de période.