I. Translation – égalité vectorielle

a- Translation Vecteurs et translation

B est l’image de A par la translation qui transforme C en D revient à dire que ABDC est un parallélogramme.

b- Écriture vectorielle d’une translation :

Concrètement, cela signifie que « le trajet qui va de A à B est exactement le même que celui qui va de C à D ».
Ces deux trajets ont :

– La même direction (Car les droites (AB) et (CD) sont parallèles).
– Le même sens (de A vers B, de C vers D).
– La même longueur (car AB = CD).

II. Somme de deux vecteurs 

Cette égalité s’appelle la Relation de Chasles. Elle permet de transformer une somme de deux vecteurs en un seul vecteur, et réciproquement.

III. Composition de deux symétries centrales

M1 et N1 sont les symétriques respectifs de M et N par rapport à A.
M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M1 et N1 par rapport à B.

Alors, les points M2 et N2 sont les symétriques respectifs de M et N par la
composée des deux symétries centrales précédentes.

Remarque :
On dirait bien que  MM2 =NN2 = 2AB
En effet, cette composition de deux symétries de centres A puis B revient en fait à une translation de vecteur 2 AB .

IV. Caractérisation d’une égalité vectorielle.

a. Parallélogramme :