Colinéarité de deux vecteurs

I) Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs :

1) Définition

Deux vecteurs non nuls, et et v sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel λ non nul tel que = λ .

Exemple :

Remarque :
• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.
• Le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs.

Exemples :

2) Propriété : Déterminant de deux vecteurs

Dans un repère, on donne les vecteurs (x ; y) et (x’ ; y’).
Les vecteurs et  sont colinéaires, si, et seulement si, det( ; ) = x×x’ – y×y’ = 0

Démonstration

Soit (x ; y) et (x’ ; y’) deux vecteurs non nuls. et   sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que =λ  v. Ce qui signifie que x = λx′ et y = λy′ si et seulement si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles, c’est-à-dire que les produits en croix sont égaux, ce qui équivaut à xy′ = x′y ou à xy′ – x′y = 0.

Exemple :

a) ( 2 ; – 3 ) et (10 – ; 15) sont-ils colinéaires ?
Réponse : 2× (-15) – (-3)× 10 = -30 +30 = 0  et  sont donc colinéaires.
b)  ( 7 ; – 4 ) et  (14 ; 8) sont-ils colinéaires ?
Réponse : 7 ×8 – (-4) × 14 = 56 – (-56) = 56 + 56 = 112≠ 0
et  ne sont donc pas colinéaires.

3) Parallélisme de deux droites

Propriété

Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et MN sont colinéaires (si et seulement si leur déterminant est nul).

Exemple :

4) Alignement de trois points

Propriété

Trois points distincts A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires (si et seulement si leur déterminant est nul).

Remarque : Cette propriété se justifie ainsi : si les vecteurs AB et AC sontcolinéaires, alors les deux droites (AB) et (AC) seront parallèles. Mais comme elles ont un point en commun, elles seront confondues, donc les
points A, B et C seront alignés.

Exemple :