Vecteur directeur d’une droite 

Définition : 

  Soit (d) une droite du plan.
Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur non nul qui possède la même direction que la droite (d).

Exemple 1:

Toute droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

Remarque : Soit 𝑢⃗ un vecteur directeur de la droite (d).Tout vecteur non nul et colinéaire au vecteur 𝑢⃗ est aussi vecteur directeur de cette droite.

Exemple 2:

Remarques :

Deux points distincts quelconques de la droite (d) définissent un vecteur directeur de cette droite.

La donnée d’un point A et d’un vecteur 𝒖⃗ non nul définissent une unique droite (d).

Deux droites (d) et (d’) sont parallèles si tout vecteur directeur de l’une est aussi vecteur directeur de l’autre.

Vecteur directeur et équation cartésienne d’une droite

Propriété
Toute droite (d) a une équation de la forme 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎
avec (𝒂 ; 𝒃) ≠ (0 ; 0). Un vecteur directeur de (d) est 𝒖⃗ ( -𝒃 ; 𝒂)

Application :

Représenter la droite dont une équation cartésienne est : –x + 2y – 3 = 0 dans un repère orthonormé.

Correction :

On trouve le point A(–1 ; 1) et un vecteur directeur 𝒖⃗ ( -2 ; -1) est ou un vecteur qui lui est colinéaire comme ( 2 ; 1)

Donc à partir du point A, on se déplace de 2 horizontalement et de 1 verticalement pour obtenir un nouveau point de la droite.

Conseils & Méthodes

1- On cherche deux points à coordonnées entières, par exemple en remplaçant x par une valeur et en cherchant la valeur de y correspondante (ou le contraire).
2- On peut aussi chercher un point et on construit à partir de celui-ci un vecteur directeur, par exemple de coordonnées ( -𝒃 ; 𝒂) ou un vecteur
colinéaire.