I. Théorème des  milieux.

1. Premier théorème des milieux :

Dans un triangle,
SI une droite passe par les milieux de deux côtés,
ALORS
cette droite est parallèle au 3ème côté.

Remarque : On appelle souvent cette droite la « droite des milieux ».

2. Second théorème des milieux :

Dans un triangle,
SI une droite : – est parallèle à un côté
– passe par le milieu d’un second côté
ALORS
elle passe par le milieu du 3ème côté.

3. Troisième théorème des milieux :

Dans un triangle,
SI un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés,
ALORS
Sa longueur est égale à la moitié de celle du 3ème côté.

II. Méthode de résolution : le produit en croix 

III. Théorème de Thalès :

Remarque :
Le second théorème des milieux n’est qu’un cas particulier de ce théorème, pour :

Exemple :
On considère le triangle DEF tel que DE = 4 cm, DF= 5 cm, EF = 6 cm.
M est le point de [DE] tel que DM = 3cm.
La parallèle à (EF) passant par M coupe [DF] en N.

Calculer DN.
Dans le triangle DEF,
On sait que :
– M ∈ [DE],
– N ∈ [DF],
– (MN) // (EF),
D’après le théorème de Thalès, on a :

IV. Agrandissement et réduction :

Définition :

Si l’on multiplie par un nombre k supérieur à 1 toutes les longueurs d’une figure F, on obtient une figure F’ qui est un agrandissement de la figure F.

Le nombre k est appelé le facteur d’agrandissement.

Si ce nombre k est compris entre 0 et 1, on obtient une réduction de la figure F.

Le nombre k est appelé le facteur de réduction.
Il y a proportionnalité entre les longueurs correspondantes des deux figures.

Propriété :

Dans un agrandissement ou une réduction d’une figure :
– les mesures d’angles sont conservées,
– le parallélisme est conservé.

Exemple :

Cas particulier pour le triangle :

La configuration de Thalès abordée traduit une situation d’agrandissement/ réduction d’un triangle.
Ainsi :