Système de deux équations à deux inconnues

I) Système de deux équations à deux inconnues

1) définitions

Définition 1 :
Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme :

où a , b , c, a’ , b’ et c’ sont des nombres relatifs , systèmes d’équations
les deux nombres inconnues sont désignés par les lettres 𝒙 et y

Exemple : 

est un système de deux équations à deux inconnues. Les nombres 𝑥 et 𝑦 sont les inconnues.
Définition 2 :
a, b , c, a’ , b’ , c’ sont des nombres relatifs.
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

c’est trouver tous les couples de nombres (𝒙 ; 𝒚) qui sont à la fois
solutions des deux équations

Exemple 1 :
Le couple (8 ; -2) est il une solution du système d’équations suivant :

Si 𝑥 = 8 et 𝑦 = −2 alors :
2 × 8+ 5 × (−2) = 16 − 10 = 6
donc le couple (8 ; -2) vérifie la première équation
5 × 8− 3 × (−2) = 40 + 6 = 46 et 46 ≠ 2
donc le couple (8 ; -2) ne vérifie pas la deuxième équation
Donc le couple (8 ; -2) n’est pas solution de ce système

Exemple 2 :
Le couple (9 ; 2) est il une solution du système d’équations suivant ?

si 𝒙 = 𝟗 et 𝒚 = 𝟐 ( on remplace 𝑥 et 𝑦 par les valeurs données et on calcule ) alors :
2 × 9− 3 × 2 = 18− 6 = 12 donc le couple de nombres (9 ; 2) vérifie la première équation
9 +2 × 2 = 9+ 4 = 13 donc le couple de nombres (9 ; 2) vérifie la deuxième équation
Le couple (9 ; 2) est bien solution de ce système

II) Méthode de résolution

1) Résolution par combinaison

Résoudre par la méthode de combinaison le système

a) On repère les coefficients devant une des deux inconnues, par
exemple ceux de x, et on détermine un de leurs multiples communs non nuls :
12 est un multiple commun de 4 et 6 , systèmes d’équations
b) On rend égaux les coefficients devant l’inconnue choisie :
(dans notre cas, on rend égaux les coefficients devant 𝑥)
Pour avoir 12 comme coefficient devant les termes en x

c) On soustrait les égalités membre à membre et on résout l’équation obtenue :
(12𝑥 − 12𝑥)+ (9𝑦 − 14𝑦) = 6 −26
0 −5𝑦 = −20
−5𝑦 = −20
𝑦 = −20 ÷ −5 = 4
𝒚 = 4

d) On détermine la valeur de l’autre inconnue en remplaçant la valeur trouvée dans une des deux équations :
En remplaçant 𝑦 = 4 dans la première équation obtient :
4𝑥 +3 × 4 = 2 ce qui donne : 4𝑥 + 12 = 2
4𝑥 = 2− 12
4𝑥 = −10
Soit 𝑥 = −10/4
𝒙 = −𝟐, 𝟓
Le couple (- 2,5 ; 4) est solution du système
e) On vérifie si le couple trouvé est une solution du système de départ
4 × (−2,5)+ 3 × 4 = −10 + 12 = 2 et
6 × (−2,5)+ 7 × 4 = −15 + 28 = 13
6) Conclusion :
Le système possède une unique solution le couple de nombres : (-2,5 ; 4)

2) Résolution par substitution du système

Résoudre par la méthode de substitution le système :

a) On exprime une des inconnues en fonction de l’autre
On choisit l’équation et l’inconnue afin d’avoir les calculs les plus simples.
Dans ce système, le plus simple et d’exprimer 𝒚 en fonction de 𝒙 de la première
équation : 3𝑥 + 𝑦 = 1 et on obtient :
𝒚 = 𝟏 −𝟑𝒙
b) On remplace cette inconnue par sa nouvelle expression dans l’autre
équation :
On remplace 𝑦 par l’expression 1− 3𝑥 dans la deuxième équation :
2𝑥 +3( 1 − 3𝑥) = −4
2𝑥 +3 − 9𝑥 = −4
−7𝑥 + 3 = −4
−7𝑥 = −4 − 3 = −7
−7𝑥 = −7
𝑥 =−7/−7 = 1 donc
𝒙 = 𝟏
c) On détermine la valeur de l’autre inconnue
On sait que 𝒚 = 𝟏 − 𝟑𝒙 . Il suffit de remplacer 𝑥 par 1 dans cette expression
On obtient : 𝒚 = 𝟏 −𝟑 = −𝟐
𝒚 = −𝟐  , systèmes d’équations
d) On vérifie si le couple trouvé est bien solution du système
3 × 1+ (−2) = 3− 2 = 1 et
2 × 1+ 3 × (−2) = 2 −6 = −4
e) Conclusion :
Le couple (1 ; – 2) est solution de ce système

III) Méthode graphique :

Soit le système :

1) On exprime y en fonction de x dans les deux équations on obtient un nouveau système qui a les mêmes solutions que le système de départ :
6𝑥 −3𝑦 = 9 On a donc : −3𝑦 = 9− 6𝑥 soit 𝑦 = (-6/-3)x + (9/-3)
on obtient donc : 𝑦 = 2𝑥 − 3
2𝑥 +𝑦 = 5 On a donc 𝑦 = −2𝑥 + 5. On obtient le système :

2) Dans un repère, on représente graphiquement les fonctions affines
associées au système
● La représentation graphique de la fonction affine 𝑥 ↦ 2𝑥 − 3 est une droite d’équation
𝑦 = 2𝑥 − 3 (qui est l’équation (1) du système).On notera cette droite (d1)
Si 𝒙 = 𝟏 alors 𝑦 = 2− 3 = −𝟏 et si 𝒙 = 𝟎 alors 𝒚 = −𝟑
La droite (d1) passe par les points A (1 ; -1) et B (0 ; -3)
● La représentation graphique de la fonction affine 𝑥 ↦ −2𝑥 + 5 est une droite d’équation 𝑦 = −2𝑥 + 5 (qui est l’équation (2) du système).On notera cette droite (d2)
Si 𝒙 = 𝟏 alors 𝑦 = −2 +5 = 𝟑 et si 𝒙 = 𝟑 alors 𝒚 = −2 × 3+ 5 = −6 + 5 = −𝟏
La droite (d2) passe par les points C (1 ; 3) et B (3 ; -1)
On trace, dans un repère, les deux droites :

3) On lit les coordonnées du point d’intersection des droites (d1) et (d2)
Les coordonnées du point d’intersection E des deux droites sont : (2 ; 1)
Le couple (2 ; 1) est solution de ce système
4) On vérifie si le couple trouvé est bien solution du système
6 × 2− 3 × 1 = 12− 3 = 9 et
2 × 2+ 1 = 4+ 1 = 5
Le couple (2 ; 1) est bien solution du système :

Remarque :
Une lecture graphique conduit souvent à une solution approchée du système (coordonnées non entière, imprécision des tracés etc..).

Il faut donc toujours vérifier les résultats de la lecture graphique par le calcul.