I. Figures symétriques

Activité :

Si on décalquait et pliait les trois figures ci-dessous suivant la droite (D), laquelle se superposerait ? ……

On dit que la figure 2 présente un axe de symétrie, qu’elle est symétrique par rapport à la droite (D).

On dit des deux moitiés de figure qui se superposeraient par pliage, qu’elles sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe de symétrie.

L’une est l’image de l’autre dans la symétrie d’axe (D) ou par rapport à la droite (D).
Les figures suivantes sont symétriques par rapport à la droite tracée en gras.

On dit par exemple que la dernière figure (celle constituée des deux triangles) est symétrique par rapport à la droite (d).
Le triangle 1 est le symétrique du triangle 2 dans la symétrie d’axe (d) et le triangle 2 est le symétrique du triangle 1 par rapport à la droite (d).

Définition :

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si ces deux figures se superposent par pliage selon cette droite.

II. Symétrique d’un point

1- Définition :

Si deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite (d),
cette droite (d) est la médiatrice du segment [AA’] .

Remarque :
Lorsqu’un point est situé sur l’axe de symétrie,
son symétrique est confondu avec lui-même.

2- Construction du symétrique d’un point

Première méthode : à l’équerre :

on trace la droite perpendiculaire à (d) passant par A grâce à l’équerre et on y reporte la distance séparant A de (d) soit en utilisant la règle, soit le compas.

Deuxième méthode : au compas :

On reporte deux distances prises entre n’importe quel point de l’axe de symétrie et le point A

III. Propriétés de la symétrie axiale 

Construire l’image d’une figure par une symétrie axiale revient à « décalquer plier » cette figure par rapport à une droite donnée.

Une telle construction n’entraîne pas de déformation ni de changement de disposition, donc :

1- Propriété : Conservation des aires

Deux figures symétriques ont la même aire.
→ la symétrie axiale conserve les aires.

2- Propriété : Conservation de l’alignement

Dans une symétrie axiale,
le symétrique d’une droite est une droite.
→ la symétrie axiale conserve l’alignement.

3- Propriété : Conservation des longueurs

Dans une symétrie axiale, le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
→ la symétrie axiale conserve les longueurs.

Exemple :
Pour trouver le symétrique du segment
[AB], on trace les symétriques des points A et B, on obtient le segment [A’B’]  et A’B’ = AB.

4- Propriété : Conservation des angles

Dans une symétrie axiale, le symétrique d’un angle est un angle de même mesure.
→ la symétrie axiale conserve les angles.

Exemple :
Le symétrique de l’angle ABC est l’angle A’B’C’ , et : A’B’C’ = ABC .

5- Propriété : Cercle

Dans une symétrie axiale, le symétrique d’un cercle est un cercle de même rayon.
→ les centres des deux cercles sont symétriques.

Exemple :
Pour trouver le symétrique du rayon [AB] , on trace les symétriques des points A et B, on obtient le rayon
[A’B’] et A’B’ = AB .

Pour construire l’image d’une figure géométrique par une symétrie axiale, on ne construit donc que l’image de ses points caractéristiques :

– pour un segment, ses extrémités,
– pour une droite, deux de ses points,
– pour un triangle, ses trois sommets,
– pour un cercle, son centre et son rayon.

IV. Axe de symétries d’une figure 

1- Définition :

Une droite est un axe de symétrie d’une figure si cette figure est son propre symétrique par rapport à cette droite.
Une figure peut posséder plusieurs axes de symétrie.

Exemples :

Remarque :
Un cercle possède une infinité d’axes de symétrie.

2- Médiatrice d’un segment :

On appelle la médiatrice d’un segment, l’axe de symétrie de ce segment.

La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points situés à égale distance des extrémités de ce segment (on dit aussi équidistant).

Construction de la médiatrice d’un segment :

À l’équerre : on repère le milieu du segment puis on trace la perpendiculaire de ce segment en son milieu.

Au compas : on place deux points à égale distance des deux extrémités du segment. La droite passant par ces deux points est ainsi l’ensemble des points équidistant des deux extrémités, la médiatrice.

3- Bissectrice d’un angle :

La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.
Pour construire la bissectrice d’un angle on utilise le compas qui est plus précis que le rapporteur :