I − Proportionnalité

1. Situations de proportionnalité

Définition

On dit que deux grandeurs sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle cœfficient de proportionnalité.

Exemple : Quand on achète des baguettes de pain, le prix payé au total est proportionnel au nombre de baguettes acheté :

Le cœfficient de proportionnalité 0, 9 correspond ici au prix d’une baguette.

Propriété

On peut associer à toute situation de proportionnalité (de cœfficient de proportionnalité p) la fonction linéaire définie par f (x) = px.

On dit alors que cette fonction linéaire modélise la situation de proportionnalité.

Exemple : Dans l’exemple précédent, l’achat des baguettes est associé à la fonction linéaire f (x) = 0, 9x.

Méthode (vérifier si un tableau est de proportionnalité)

Pour vérifier si un tableau représente une situation de proportionnalité, on calcule dans chaque colonne le quotient du premier nombre par le second :
⋄ Si TOUS les quotients sont égaux, alors il s’agit d’une situation de proportionnalité.
⋄ Si un ou plusieurs quotients sont différents, alors il ne s’agit pas d’une situation de proportionnalité.

Exemple : 

• On obtient trois fois le même nombre donc c’est un tableau de proportionnalité.
• Le cœfficient de proportionnalité est 10/3.

2. Situations problèmes

Propriété

Pour compléter un tableau de proportionnalité, on utilise le « produit en croix ».

Exemple : Pour faire ses confitures, Elisabeth a acheté 4 kg de sucre pour 10 €. Calculer le prix de 7 kg de sucre.
Réponse :
1. On organise les données sous forme de tableau :

2. On utilise le produit en croix pour trouver la valeur manquante :
(10 × 7)/4 = 70/4 = 17, 5.
3. Conclusion : 7 kg de sucre coûteront donc 17,50 €

3. Proportionnalité et représentations graphiques

Propriété

• Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors elles sont représentées par une droite passant par l’origine.
• Inversement, si des points sont alignés avec l’origine du repère, alors les deux grandeurs représentées sont proportionnelles.

Exemple :

II − Grandeurs

1. Grandeurs composées

Définition

Quand on effectue le produit de deux grandeurs, on obtient une grandeur produit.

Exemple :

Aire : L’aire d’un rectangle est donnée par la formule « longueur × largeur », on multiplie donc des cm avec des cm, le résultat est en cm².
Volume : Le volume d’un solide est donné par la formule « aire de la base × hauteur », on multiplie donc des m2 avec des m, le résultat est en m³.
Énergie électrique : L’énergie électrique E consommée par un appareil de puissance P kilowatts (kW) pendant t heures est E = P × t. Elle s’exprime donc en kW h.

Définition

Quand on effectue le quotient de deux grandeurs, on obtient une grandeur quotient.

Exemple :

Vitesse : C’est la distance parcourue sur la durée du parcours. Elle s’exprime en km/h ou en m/s et s’obtient donc en divisant
la distance du parcours par le temps de parcours (voir paragraphe suivant).
Densité de population : La densité de population est le nombre d’habitants sur une surface déterminée. Elle s’exprime en nombre d’habitants par km².
Masse volumique : La masse volumique est le quotient de la masse par le volume. Elle s’exprime en g/m³ , ou kg/m³ . . .
Débit d’un liquide : Le débit est le quotient du volume par la durée. Il s’exprime en m³/s

2. Vitesse moyenne

Propriété

Si D désigne la distance (en km) et T le temps de parcours (en h), alors la vitesse moyenne V (en km/h) est donnée par la formule :

V =D/T.

III- Les pourcentages

Définition

Un pourcentage de t % traduit une proportion de t/100 .
Appliquer un taux de t% à une quantité revient à calculer t/100 de cette quantité .

Exemple :

Dans une classe de 30 élèves, 20 % ont pris l’option Latin.
Je vais donc calculer 20/100 de 30 :
(20/100)×30 = 0,2×30 = 6
6 élèves ont pris Latin.

Définition

Déterminer un pourcentage revient à donner la proportion dont le dénominateur est 100.

Exemple :

Un manteau coûtait 146€ et a augmenté de 29,20 €. Quel est le pourcentage d’augmentation?
La proportion de l’augmentation est de 29,2/146.
Or  (29,2/146)= 0,2 = 20/100 = 20%
Le manteau a augmenté de 20%.
On peut aussi utiliser un tableau de proportionnalité :

Propriété

Augmenter un nombre de p% revient à le multiplier par (1+(p/100))
Diminuer un nombre de p% revient à le multiplier par  (1-(p/100))

Exemple :

Les tarifs d’électricité vont augmenter chaque année de 6%. La famille DUDU payait 108€ d’électricité par an, dans 2 ans combien paiera-t-elle? 
Dans 1 an : 108×(1+(6/100))=114,48€
Dans 2 ans : 114,48×(1+(6/100))=121,3488€
J’aurais pu écrire directement : 108×(1+(6/100))×(1+(6/100))=121,3488€
Le prix du gaz a baissé de 3%. La famille DUDU payait 86€ par an. Combien va-t-elle payer?
86×(1-(3/100))=83,42€