positions relatives de deux droites

Propriété

Deux droites (d) et (d’), d’équations respectives 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎 et 𝒂′𝒙 + 𝒃′𝒚 + 𝒄′ = 𝟎 sont parallèles si et seulement si : 𝒂 𝒃′− 𝒂′𝒃=𝟎

Démonstration :

Soit d la droite d’équation cartésienne : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 et d’ la droite d’équation 𝑎′𝑥 + 𝑏′𝑦 + 𝑐′ = 0
𝑢⃗ (−𝒃 ; 𝒂). est un vecteur de directeur de d et 𝑢⃗ ′ (−𝒃′ ; 𝒂′). est un vecteur de directeur de d’ .
d et d’ sont parallèles équivaut à 𝑢⃗ et 𝑢⃗ ′ sont colinéaires
ce qui équivaut à : −𝒃 𝒂′ − 𝒂 (−𝒃′) = 0
ce qui équivaut à : 𝒂 𝒃′ − 𝒂′𝒃 = 0.

Remarque:
Soit la droite (d) d’équation réduite : 𝒚=𝒎𝒙+𝒑 et (d’) : 𝒚′=𝒎′𝒙+𝒑′ (d) et (d’) sont parallèles si et seulement si 𝒎=𝒎′
En effet les vecteurs de coordonnées (1 ; 𝑚) et (1 ;𝑚’) sont deux vecteurs directeurs respectifs de (d) et (d’).
D’où : Les vecteurs 𝑢⃗ et 𝑢⃗ ′ sont colinéaires si et seulement si 𝑚 = 𝑚’

Exercices corrigés

Exercice 1:

Dans un repère du plan (O ; 𝑖 ; 𝑗 ), la droite d1 a pour équation : 2𝑥 + 𝑦− 3= 0 et d2 a pour équation : -4 𝑥− 2𝑦+ 5= 0.

Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Solution

𝑢1⃗ (−𝟏 ; 2) et 𝑢2⃗ (𝟐 ; −4).sont deux vecteurs directeurs respectifs de d1 et d2.
On calcule le déterminant des vecteurs 𝒖𝟏⃗ et 𝒖𝟐⃗ :
−𝟏 × (-4) − 2 × 𝟐 = 4 – 4 = 0
Les droites d1 et d2 sont donc parallèles.

Exercice 2:

Dans un repère du plan (O ; 𝑖 ; 𝑗 ), la droite d1 a pour équation : 3𝑥 +2 𝑦− 3= 0 et d2 a pour équation : – 𝑥+ 2𝑦+ 5= 0.

Les droites d1 et d2 sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Solution

𝑢1⃗ (−𝟐 ; 3) et 𝑢2⃗ (−𝟐 ; −1) sont deux vecteurs directeurs respectifs de d1 et d2.
−𝟐 × (-1) − (−2 ) × 𝟑 = 2 + 6 = 8 ≠ 0
Les droites d1 et d2 ne sont donc pas parallèles.

Exercice 3:

On donne les droites d1 d’équation cartésienne 2x – y – 5 = 0 et d2 d’équation cartésienne 3x – 4y – 2 = 0.
Étudier la position relative de ces deux droites.

Solution

𝑢1⃗ (1 ; 2) et 𝑢2⃗ (−4 ; 3) sont deux vecteurs directeurs respectifs de d1 et d2.

On calcule alors : det (𝑢1⃗,𝑢2⃗) = 1 × 3 – (– 4) × 3 = 15 ≠ 0
−𝟐 × (-1) − (−2 ) × 𝟑 = 2 + 6 = 8 ≠ 0
donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les droites sont
sécantes en un point