Multiplication d’un vecteur par un réel

1- Définition

Pour multiplier un vecteur par un nombre réel k:
• on conserve la direction du vecteur
• on multiplie la longueur du vecteur par |k|
• si k est positif, on conserve le sens du vecteur, mais si k est négatif on le change.

Exemples
Sur la figure on peut constater :

2- Propriétés

Considérons deux vecteurs , ainsi que deux nombres réels x et y.
Les égalités suivantes sont vérifiées :

Ces propriétés montrent que le calcul vectoriel est très voisin du calcul sur les nombres.

3- Applications

On dit que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’on peut passer de l’un à l’autre en effectuant une multiplication par un réel. Ainsi deux vecteurs colinéaires ont même direction, le sens et la longueur pouvant être différents.

a) Droites parallèles

Soient A, B, C et D quatre points. Si les vecteurs sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que pour démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

b) Points alignés

Soient A, B et C trois points. Si les vecteurs sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés.
Ainsi, il suffit de trouver un nombre réel k tel que pour démontrer que les points A, B et C sont alignés.

Exemple d’application

On considère un triangle ABC, ainsi que les points E et F définis par

Démontrons que les droites (BC) et (EF) sont parallèles.

Pour démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles, nous allons montrer que les vecteurs