I) Multiples et diviseurs.

1) Définition

𝒂 est un multiple de 𝒃 s’il existe un entier 𝒌 tel que 𝒂 = 𝒌𝒃.
On dit que :
● 𝑎 est un multiple de 𝑏. ● 𝑏 est un diviseur de 𝑎.

Exemples
8 est multiple de 4

217 est un multiple de 7

4 est un diviseur de 8

7 est un diviseur de 217

En effet : 8 = 4 × 2

En effet : 217 = 7 × 31

Exemple de problèmes :multiples-diviseurs et les nombres premiers

Prouver que la somme de trois nombres entiers naturels consécutifs est un multiple de 3.
Solution : Soit 𝑛 le plus petit des 3 nombres, 𝑛 + 1 est le suivant et (𝑛 +1)+ 1 = 𝑛 +2 est le troisième, la somme des trois entiers consécutifs est donc : 𝑛 + (𝑛 +1) + (𝑛 +2) = 3𝑛 + 3
3𝑛 + 3 = 3 (𝑛 + 1) est bien un multiple de 3

2) Propriété

La somme de deux multiples d’un entier 𝒂 est aussi un multiple de 𝒂
Exemples :
Exemple 1 : 14 + 21 = 35 ; 14 et 21 sont deux multiples de 7 alors 35 l’est aussi.
Exemple 2 : 18+12 = 30, 18 et 12 sont deux multiples de 6 ; 30 l’est aussi.
Démonstration :
Démonstration 1 : Prenons le cas où nous prenons deux multiples d’un nombre donné 11.
Les deux multiples de 11 s’écrivent sous la forme : 11𝑝 et 11𝑞 ; p et q étant deux nombres entiers.
Leur somme est donc : 11𝑝 + 11𝑞 =11(𝑝 + 𝑞) en factorisant par 11 ce qui donne bien aussi un multiple de 11.
Démonstration 2 : Cas général (pour ceux qui veulent aller plus loin) :
Soit deux nombres entiers multiples d’un nombre 𝒂 donné. On peut les écrire sous la forme :
𝒂𝑝 et 𝒂𝑞 avec 𝑝 et 𝑞 entiers. Leur somme est donc 𝑎𝑝+𝑎𝑞 = 𝑎(𝑝 + 𝑞) , 𝑝 + 𝑞 étant entier, 𝑎(𝑝 + 𝑞) est bien aussi un multiple de 𝑎 .
La somme de deux multiples d’un nombre donné a est aussi un multiple de ce nombre a.multiples-diviseurs et les nombres premiers

II) Nombres pairs et impairs

1) Définitions

• Un nombre pair est un nombre entier multiple de 2.
Tout nombre pair peut s’écrire sous la forme 𝟐𝒌 avec 𝒌 entier.
• Un nombre impair est un nombre entier qui n’est pas un multiple de 2.
Tout nombre impair peut s’écrire sous la forme 𝟐𝒌 + 𝟏 avec 𝒌 entier.

2) Propriétés

• Le carré d’un nombre pair est toujours pair.
• Le carré d’un nombre impair est toujours impair.
Démonstration 1 : Le carré d’un nombre pair est pair :
Soit 𝑛 un nombre pair, alors il existe un entier 𝑘 tel que 𝑛 = 2𝑘
Le carré de ce nombre est : 𝑛² = (2𝑘)² = 4𝑘² = 2(2𝑘²) = 𝟐𝒌’ 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘’ = 2𝑘² , 𝑘’ étant lui aussi entier,𝒏² = 𝟐𝒌’ avec 𝒌’ entier donc 𝒏² est aussi un nombre pair.
Donc le carré d’un nombre pair est bien un nombre pair.

Réciproquement : montrons que si un nombre au carré est pair alors ce nombre est pair.
Raisonnons par l’absurde soit 𝑝² un nombre pair et supposons que 𝑝 soit impair alors il existe un nombre 𝑘 tel que 𝑝 = 2𝑘 + 1 donc 𝑝² = (2𝑘 + 1)² = 4𝑘² + 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘² +2𝑘)+ 1 qui est l’écriture d’un nombre impair , ce qui contredit l’hypothèse de départ donc si 𝒑² est pair , 𝒑 l’est aussi

Démonstration 2 : Le carré d’un nombre impair est impair :
Soit 𝑛 un nombre impair, alors il existe un entier 𝑘 tel que 𝑛 = 2𝑘 + 1
Le carré de ce nombre est :
𝑛² = (2𝑘 +1)² = (2𝑘 +1)(2𝑘 + 1) = 4𝑘² + 4𝑘 + 1 = 2(2𝑘² +2𝑘) + 1 = 2𝑘’ + 1 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑘’ = 2𝑘² +2𝑘 , 𝑘’ étant lui aussi entier,
𝒏² = 𝟐𝒌’ +𝟏 avec 𝒌’ entier donc n² est aussi un nombre impair.
Donc le carré d’un nombre impair est bien un nombre impair.
Réciproquement : montrons que si un nombre au carré est impair alors ce nombre est impair.
Raisonnons par l’absurde soit 𝑝² un nombre impair et supposons que 𝑝 soit pair alors il existe un nombre 𝑘 tel que 𝑝 = 2𝑘donc 𝑝² = (2𝑘)² = 4𝑘² qui est l’écriture d’un nombre pair , ce qui contre dit l’hypothèse de départ donc si 𝒑² est impair , 𝒑 l’est aussi.

III) Nombres premiers

1) Définition

Un nombre premier est un nombre entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts dans ℕ : 1 et lui-même.

Remarques :multiples-diviseurs et les nombres premiers
● 0 n’est pas un nombre premier : Il possède une infinité de diviseurs dans ℕ : 1 ;2 ;3 ;4…: ℕ lui-même.
● 1 n’est pas un nombre premier : il n’a qu’un seul diviseur dans ℕ : lui-même.
Exemples :
3 est un nombre premier. Ses seuls diviseurs dans ℕ sont 1 et 3.
5 est un nombre premier. Ses seuls diviseurs dans ℕ sont 1 et 5.
4 n’est pas un nombre premier : ses diviseurs dans ℕ sont 1 ; 2 et 4.

2) Cribles d’Eratosthène

Il existe une infinité de nombres premiers.
Le crible d’Eratosthène est un algorithme qui permet de trouver les
nombres premiers selon une technique bien précise :
● On barre le chiffre 1 puisqu’il n’est pas premier.
● 2 n’est pas barré, on l’entoure et on barre tous les multiples de 2 (sauf 2)
● 3 n’est pas barré, on l’entoure et on barre tous les multiples de 3 (sauf 3)
● Le nombre suivant non barré est 5. On l’entoure et on barre tous ses
multiples (sauf 5) et on continue ainsi de suite ….
Remarques : On obtient la liste de tous les nombres premiers (les nombres qui ne sont pas barrés (voir le tableau ci-dessous avec les nombres inférieurs ou égales à 100) :

Les nombres premiers inférieurs à 100 sont :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 et 97. Cette liste n’est pas à apprendre par cœur il suffit juste de savoir retrouver les nombres premiers. 

3) Décomposition en produits de facteurs premiers

Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 est soit un nombre premier soit il se décompose en produits de facteurs premiers. Cette décomposition est unique.

Exemples :

● Décomposer 72 en produit de facteurs premiers : 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3²
● Décomposer 132 en produit de facteurs premiers : 132 = 2 × 2 × 3 × 11 = 2² × 3 × 11
● Quel est le nombre entier naturel compris entre 900 et 1 000 divisible par 7 ; 5 et 13 ?
Solution : D’après l’énoncé, le nombre cherché est divisible par 7 ; 5 et 13 qui sont premiers, donc la décomposition en produit de facteurs premiers comprend les nombres 7 ; 5 et 13. Donc le nombre cherché est divisible par 7 × 5 × 13 . Or, 7 × 5 × 13 = 455 donc le nombre cherché est un
multiple de 455.
455 ; 910 ; 1365 sont des multiples de 455. 910 est celui qui est compris entre 900 et 1 000.
Donc 910 est le nombre cherché divisible par 7 ;5 et 13 et compris entre 900 et 1 000.