1) Encadrement :
Réaliser un encadrement du réel x, c’est trouver deux nombres assez proche a et b tel que, a < x < b ou a ≤ x ≤ b
ou a <x < b ou a < x < b ,Chacun de ces doubles égalités s’appelle un encadrement du réel x d’amplitude b-a
Plus cette amplitude est réduite et plus l’encadrement est précis.
a s’appelle une approximation du réel x par défaut à b-a près (ou avec la précision b-a)
b s’appelle une approximation du réel x par excès à b-a près (ou avec la précision b-a)
2) Encadrements et opérations
– Encadrements et additions
Considérons deux réels x et y tels que :
a < x < b et c < y < d a l o r s on a a+c < x+y < b+d.
Remarque : Pour encadrer le résultat d’une différence a-b on commencera par encadrer -b avant…
-Encadrements et multiplications
Considérons deux nombres réels positifs x et y tels que :
0 < a < x < b et 0 < c < y < d .
Le produit x y est alors encadrée par a c et b d .
On a a c < x y < b d .
Il suffit de multiplier les bornes des encadrements de x et y pour obtenir un encadrement de xy.
Remarque : Pour encadrer le résultat d’une division, on commencera par la remplacer par une multiplication (diviser c’est multiplier par l’inverse).
3) Valeur approchée d’un nombre.
a) Soit a et x deux nombres et r un nombre strictement
positif. On dit que a est une valeur approchée (ou approximation) du nombre x à r près (ou à la précision r ) lorsque
⌈x – a⌈ ≤ r .
b) Soit a et x deux nombres et r un nombre strictement positif. On dit que a est une valeur approchée (ou approximation) du nombre x à r près (ou à la précision r ), par défaut, lorsque a ≤ x ≤ a + r . a est une valeur approchée de x à r près, par excès, lorsque : a – r ≤ x ≤ a  .