I – Constructions :

1) On connait les mesures des trois côtés :

Exemple : Soit ABC un triangle tel que AB = 5 cm , AC = 4 cm et BC = 6 cm

2) On connait les mesures de deux côtés et l’angle compris entre ces côtés :

Exemple : Soit RST un triangle tel que RT = 6 cm , ST = 4 cm et RTŜ = 70°

3) On connait les mesures d’un côté et de deux angles adjacents à ce côté :

Exemple : Soit FEG un triangle tel que EF = 7 cm , FÊG = 110° et EFĜ = 40°

II – Inégalité triangulaire :

Propriété : 

Inégalité triangulaire Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Ainsi dans un triangle ABC quelconque :

         AB < AC + BC

         AC < AB + BC

         BC < AB + AC

•  « La ligne droite reste le plus court chemin pour aller d’un point à un autre ».

Méthode :
En pratique, on identifie le plus grand côté et on calcule la somme de la longueur des deux plus petits côtés. Cette somme doit être supérieure à celle du grand.
Exemple : Peut-on tracer un triangle de côtés 8 cm, 13 cm et 7 cm ?
Le plus grand côté mesure 13 cm.
              8 + 7 = 15 cm.
15 > 13 donc l’inégalité triangulaire est respectée, la construction est possible.
Exemple : Peut-on tracer un triangle de côtés 2 cm, 3 cm et 6 cm ?
Le plus grand côté mesure 6 cm.
            2 + 3 = 5 cm.
5 < 6 donc l’inégalité triangulaire n’est pas respectée, la construction est impossible.

Propriété :  Egalité triangulaire

Dans un triangle, si la longueur du grand côté est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés, le triangle est plat.

Si  AB = AC + BC , alors le point C appartient au segment [AB].
Si le point C appartient au segment [AB] , alors AB = AC + BC  .

Exemple : Peut-on tracer un triangle de côtés 8 cm, 13 cm et 5 cm ?
Le plus grand côté mesure 13 cm.
        8 + 5 = 13 cm.
C’est l’égalité triangulaire, le triangle est plat.

III – Hauteur d’un triangle :

Définition :

Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire à son côté opposé.

Propriété :

Les trois hauteurs d’un triangle se coupent en un même point appelé l’orthocentre. On dit qu’elles sont concourantes.

IV – Médiane d’un triangle :

Définition :

Une médiane d’un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Propriété :

Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé le centre de gravité.

V – Médiatrice d’un triangle et cercle circonscrit :

1) Médiatrice :

Définitions :
La médiatrice d’un segment est une droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.
La médiatrice d’un segment est l’ensemble des points à égale distance des extrémités de ce segment.
La médiatrice d’un segment est un de ses deux axes de symétrie.

2) Cercle circonscrit :

Propriété :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle.
Ce cercle est appelé le cercle circonscrit au triangle.

VI – Propriétés des triangles isocèles et équilatéraux :

Propriété :

Dans un triangle isocèle, les trois droites remarquables passant par le sommet principal sont confondues et sont des axes de symétrie.
Dans un triangle équilatéral, les trois droites remarquables relatives à chaque côté sont confondues et sont des axes de symétrie.