Nous allons voir dans cette partie Somme et différence des nombres relatifs pour les élèves du 1ère année collège

Addition et soustraction de relatifs

I – Addition de relatifs :

1) Pour additionner deux nombres de même signe :

• on écrit le signe commun aux deux nombres ;
• on écrit la somme des distances à zéro.

Exemples :

(+3,6) + (+6,4) = +10

(-3,6) + (-6,4) = -10

2) Pour additionner deux nombres de signes contraires :

• on écrit le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ;
• on écrit la différence des distances à zéro.

Exemples :

(+2,6) + (-3,9) = -1,3                (+7,7) + (-6,6) = +1,1

(+3,9) + (-2,6) = +1,3                (-5,5) + (+1,1) = -4,4

3) Addition de deux nombres opposés :

Exemple : (+7) + (-7) = 0

Quand on ajoute deux nombres opposés, on obtient zéro.

4) Addition de plusieurs nombres relatifs :

Il y a 2 méthodes :

On peut calculer les nombres par deux en partant de la gauche comme ci-dessous :

Ex : A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9)

       A=        (-2)      + (-4) + (+9)

       A=                 (-6)       + (+9)

       A=                        (+3)

On peut regrouper tous les positifs d’abord puis tous les négatifs :

Ex : A= (+3) + (-5) + (-4) + (+9)

       A = (+3) + (+9) + (-5) + (-4)

       A =     (+12)      +      (-9)

       A =                (+3)

II – Soustraction de deux nombres relatifs :

1) Méthode :  Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

Exemple :

• (+3) – (+9) = (+3) + (-9) = -6
• (+5) – (-9) = (+5) + (+9) = 14
• (+6) – (+7) = (+6) + (-7) = -1
• (-9) – (-12) = (-9) + (+12) = +3

2) Suppression des parenthèses :

• Quand deux + se touchent, on remplace par + : 3 + (+5) = 3 + 5.
• Quand deux – se touchent, on remplace par + : 5 – (-7) = 5 + 7.
• Quand deux signes contraires se touchent, on remplace par – : 3 + (-5) = 3 – 5 ;

                                                                                                       7 – (+4) = 7 – 4.

3) Addition et soustraction de plusieurs nombres relatifs :

 Exemple :                E = (+2) + (+6) + (-5) – (-6) – (+7) + (-8)

                                 E = 2 + 6 – 5 + 6 – 7 – 8               on supprime les parenthèses    

Première méthode :    on calcule de gauche à droite.

E = 2 + 6 – 5 + 6 – 7 – 8  

   = 8 – 5 + 6 – 7 – 8

    = 3+ 6 – 7 – 8

   =9 – 7 – 8

   =2 – 8

   =-6 

Deuxième méthode : · on regroupe les positifs d’abord puis les négatifs ;

• on calcule la somme de tous les positifs et celle de tous les négatifs ;
• on ajoute ces deux sommes.

  E = 2 + 6 – 5 + 6 – 7 – 8   

      =   2 + 6 + 6 – 5 – 7 – 8

      =  14  – 20

      =  -6

III. Distance sur une droite graduée :

Définition :

Soient deux points A et B d’abscisses respectives  x_A et x_B.

Si x_A > x_B alors AB = x_A – x_B.

Si x_A < x_B alors AB = x_B  – x_A.

Remarques :

1° La distance s’obtient en calculant la différence des abscisses dans le « bon ordre » :

« l’abscisse la plus grande » – « l’abscisse la plus petite »

2° Une distance est toujours positive.

IV – Comparaison de deux nombres relatifs :

Pour comparer deux nombres relatifs, il y a trois cas possibles :

• 1^er cas : les deux nombres sont positifs. On sait déjà les comparer.

• 2^ème cas : l’un est positif, l’autre est négatif.

Le positif est toujours plus grand que le négatif.

• 3^ème cas : les deux nombres sont négatifs.

Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs opposés.

Le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro.