I- Règles de calcul pour les inéquations
Règle d’addition :
Additionner membre à membre conserve l’ordre :
Soit a,b, ∈ ℜ : si a < b alors a + c < b + c
Démonstration : Si a < b alors a – b < 0
→ (a + c) – (b + c) = a + c –b – c = a – b < 0
donc on a : a + c < b + c
Règle de multiplication :
Multiplier par un nombre strictement positif conserve l’ordre.
Soit a,b, ∈ ℜ : si a < b et c > 0 alors ac < bc
Multiplier par un nombre strictement négatif change l’ordre .
Soit a,b, ∈ ℜ : si a < b et c < 0 alors ac > bc
Démonstration : Les inéquations en seconde
1er cas : on suppose que c > 0
a < b alors (a – b) < 0
Le produit de 2 nombres de signes contraires est négatif
donc c(a – b) < 0
donc ca – cb < 0
donc ca < c b
2ème cas : on suppose que c < 0
a < b alors (a – b) < 0
Le produit de 2 nombres de signes contraires est négatif
donc c(a – b) > 0
donc ca – cb > 0
donc ca > c b
II- Inéquation
Définition :
Une inéquation est une inégalité dans laquelle est présente une inconnue (ou des inconnues).
Résoudre une inéquation revient à déterminer l’ensemble de toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.
Remarque : Une inéquation de la forme ax + b < cx + d (où x est l’inconnue et a, b, c et d sont des nombres réels avec a et b non tous deux nuls) est appelée inéquation du 1er degré.
Exemple
3x + 4 < 7x + 9 ou 2x + 6 ⩾ x – 5 sont des exemples d’inéquations d’inconnue x (qui font partie de la famille des inéquations du 1er degré).
Règles : Résolution d’une inéquation du 1er degré
Si on applique l’une des règles de manipulation des inégalités aux deux membres d’une inéquation,
on obtient une inéquation qui lui est équivalente c’est-à-dire qui a le même ensemble des solutions.
Remarque : On se sert du symbole ⇔ pour signifier « est équivalent à ».
Exemple
Résoudre dans ℝ l’inéquation –3x + 2 ⩾ 8 ⇔ –3x ⩾ 6 (en soustrayant 2) ⇔ x ⩽ –2 (en divisant par –3).
L’ensemble des solutions est 𝒮 = ]−∞ ; −2].
Remarque :La résolution d’inéquation permet par exemple de comparer des expressions.
Définition : Modélisation d’un problème
Modéliser un problème par une inéquation, c’est écrire une inéquation en lien avec les contraintes exposées par le problème.