I. Représentations d’une fonction

1- Définition :

Une fonction est un procédé qui transforme un nombre en un autre nombre :

nombre quelconque    →  fonction  →   un unique nombre

Une fonction peut être représentée de déférentes manières : une expression, un tableau ou une courbe.

2- Notation :

Il existe deux notations possibles pour une fonction définie par une expression : les fonctions 3ème

f (x) = 3x² + 5x + 6 peut également se noter f : x 7−→ 3x² + 5x + 6.

Le nombre mis “dans la machine” (donc x s’appelle l’antécédent, et le nombre qui ressort (ici 3x² + 5x + 6) est appelé image de x .

II. Calcul/lecture d’images

Définition :

L’image d’un nombre x par une fonction est le nombre qui ressort de la fonction après avoir mis le nombre x à l’intérieur (voir le schéma ci-dessus).
L’image d’un nombre est unique!

1. Fonctions définies par un tableau

Méthode : (lire une image dans un tableau )

Puisqu’on demande de déterminer l’image d’un nombre, ce nombre est forcément un antécédent. Par conséquent :

1. On cherche ce nombre sur la ligne des antécédents : ligne des x.
2. L’image recherchée se lit dans la même colonne que le nombre, à la ligne des images : ligne des f (x). Le plus souvent, c’est la case juste en-dessous. . .

2. Fonctions définies par une courbe

Méthode : (lire graphiquement une image )

Puisqu’on demande de déterminer l’image d’un nombre, ce nombre est forcément un antécédent. Par conséquent :

1. On cherche ce nombre sur l’axe des antécédents (abscisses).
2. On trace un trait qui monte/descend jusqu’à rencontrer la courbe en un point.
3. On projette ce point sur l’axe des ordonnées où l’on lit la valeur recherchée de l’image.

Exemple : On considère la fonction f définie par la courbe suivante, déterminer l’image de 4, puis 2,5 par f .

Par lecture graphique, on détermine donc que l’image de 4 par f est 3, et que l’image de −2.5 par f est −2.

3. Fonctions définies par une expression

Méthode : (calculer une image )

Puisqu’on demande de déterminer l’image d’un nombre, ce nombre est forcément un antécédent. Par conséquent, il suffit de remplacer x par ce nombre dans l’expression de la fonction et de calculer (substitution).

Exemple 1 : Calculer l’image de 5 par la fonction f (x) = 3x² − 2x + 1.
Réponse :

Exemple 2 :  calculer l’image de −2 par la fonction g(x) = x² − 7.
Réponse : g(−2) = (−2)² − 7 = −3. Donc l’image de −2 par g est −3.

III. Calcul/lecture d’antécédent

Définition :

Le ou les antécédent(s) d’un nombre y par une fonction sont donc les nombres qui, mis à l’intérieur de la machine, permettent d’obtenir y comme résultat à la sortie. les fonctions 3ème
Un nombre peut donc admettre 0, 1 ou plusieurs antécédents. . .

1. Fonctions définies par un tableau

Méthode : (lire un antécédent dans un tableau )

Puisqu’on demande de déterminer l’antécédent d’un nombre, ce nombre est forcément une image. Par conséquent :

1. On cherche ce nombre sur la ligne des images : ligne des f (x). Il peut apparaître plusieurs fois : il y aura alors autant d’antécédents !
2. Chaque antécédent recherché se lit dans la même colonne que le nombre, à la ligne des antécédents : ligne des x. Le plus souvent, c’est la case juste au-dessus. . .

2. Fonctions définies par une courbe

Méthode : (lire graphiquement un antécédent )

Puisqu’on demande de déterminer l’antécédent d’un nombre, ce nombre est forcément une image. Par conséquent :

1. On cherche ce nombre sur l’axe des images (ordonnées).
2. On trace un trait horizontal qui traverse tout le graphique.
3. On marque chaque point d’intersection avec la courbe, s’ils existent (il peut en effet y en avoir 0, 1 mais aussi plusieurs).
4. On projette chaque point d’intersection sur l’axe des abscisses où l’on lit la valeur recherchée de l’antécédent.
Il y a autant d’antécédents que de points d’intersection.

Exemple 1 : On considère la fonction f définie par la courbe suivante, on cherche les antécédents de 4 par f .

3. Fonctions définies par une expression

Méthode : (calculer les antécédents d’un nombre )

Trouver les antécédents d’un nombre y revient à trouver les valeurs de x (antécédents) pour lesquelles la fonction vaut y (image). Il s’agit donc de résoudre l’équation « f (x) = y ».

Exemple 1 :
Question : déterminer l’antécédent de 21 par f (x) = 4x + 1
Réponse :

L’antécédent de 21 par la fonction f est 5.