Image et antécédent 

II- Image d’un nombre par une fonction

1) Par lecture graphique

Méthode / Explications :
Les images se lisent en ordonnées (l’axe vertical)
Lorsque nous devons lire l’ordonnée d’un nombre x donné, nous plaçons
ce nombre en abscisse et on lit l’ordonnée correspondante à ce nombre.

Exercice 1 : Déterminez sur le graphique ci-dessous l’image de 1 par f

Réponse :

Exercice 2 : Déterminer sur le graphique ci-dessous les images de 1 et de -5 par f

Réponse :

2) A partir de l’expression de la fonction

Méthode / Explications : Pour calculer l’image d’un nombre par une
fonction ݂f, on remplace x par la valeur donnée, dans l’expression de f(x), et on calcule.

Exercice 1 : Soit ݂ f(x) = x² +5  Calculer l’image de 2, de -0,5 et de -3

Réponse :

II- Antécédents d’un nombre par une fonction

1) Par lecture graphique

Méthode / Explications :
Pour déterminer le ou les antécédents d’un nombre a donné, on trace la
droite (d) d’équation y = a .
On lit les abscisses des points d’intersection de la courbe (C) et de la droite (d).
Les antécédents se lisent en abscisses !!!!

Exercice 1 : Nous avons tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.
Déterminez sur le graphique ci-dessous le ou le(s) antécédents de 6 par f

Réponse :

Exercice 2 : Nous avons tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.
Déterminez sur le graphique ci-dessous le ou le(s) antécédents de -3 par f

Réponse :

Exercice 3 : Nous avons tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f.
Déterminez sur le graphique ci-dessous le ou le(s) antécédents de-2 par f

Réponse :

La courbe représentative de la fonction f et la droite
d’équation y = -2 n’ont pas de point d’intersection : La fonction
f n’admet aucun antécédent de -2

2) A partir de l’expression de la fonction f

a) Par le calcul simplement
Méthode / Explications : Pour calculer le ou les antécédents du nombre a
par ݂, s’il y en a , on résout l’équation ࢌሺ࢞ሻ ൌ ࢇ

Exercice 1 : Déterminer, le ou les antécédents de 2 ; -2 ; 0 par la fonction f définie par : f(x) =x²

Réponse : Image et antécédent
• Pour calculer le ou les antécédents de 2, il suffit de résoudre l’équation:
f(x) = 2
C’est à dire :
x² = 2  qui a pour solutions :
x = √2 ou x = –√2
Les antécédents de 2 par f sont √2 et –√2
• Pour calculer le ou les antécédents de -2, il suffit de résoudre l’équation:
f(x) = –2
C’est à dire :
x² = –2
Un nombre au carré ne pouvant être négatif, l’équation n’a aucune
solution, donc -2 n’a aucun antécédent par f
• Pour calculer le ou les antécédents de 0, il suffit de résoudre l’équation :
f(x) = 0
C’est à dire :
x² = 0 . qui a pour solution :
x = 0
L’ antécédent de 0 par f est 0

Exercice 2 : Déterminer, le ou les antécédents de 2 et -2 par la fonction
f(x) = 5x + 3
Réponse :
• Pour calculer le ou les antécédents de 2, il suffit de résoudre l’équation :
f(x) = 2
C’est à dire :
5x + 3 = 2
5x  = 2 – 3

5x  =  – 1

x = –1/5
L’antécédent de 2 par f est –1/5
• Pour calculer le ou les antécédents de -2, il suffit de résoudre l’équation :

f(x) = –2
C’est à dire :
5x + 3 = –2
5x  = –2 – 3

5x  =  – 5

x = –5/5

x = –1
L’antécédent de 2 par f est –1

b) Par le calcul après avoir transformé l’expression

Exercice 1 : Soit la fonction f définie sur ℜ : f(x) = x² + 16x + 39
a) Démontrer que ݂f(x) =(x +8)² –25
b) Démontrer que ݂f(x) = (x +3)(x + 13)
c) Déterminer les antécédents par ݂ de 0
d) Déterminer les antécédents par ݂ de -16
e) Déterminer les antécédents par ݂ de 39
f) Déterminer les antécédents par ݂ de -34

Réponse : 

Remarque essentielle: La fonction f(x) peut donc s’écrire sous trois formes différentes :

Pour chaque exercice, on est amené à choisir la « bonne forme », permettant la résolution aisée de l’exercice.

c) Pour déterminer le ou les antécédents de 0, on doit résoudre l’équation
f(x) = 0. La forme la plus adaptée est la forme (3) car nous sommes
amenés à résoudre l’équation produit nul : (x +3)(x + 13)=0

d) Pour déterminer le ou les antécédents de -16, on doit résoudre
l’équation f(x) = -16. La forme la plus adaptée est la forme (2) car nous
avons à résoudre l’équation: (x +8)² –25=-16
C’est-à-dire :

f) Pour déterminer le ou les antécédents de -34, on doit résoudre
l’équation f(x) = -34. La forme la plus adaptée est la forme (2) car nous
avons à résoudre l’équation:
(x +8)² –25= -34

(x +8)² = -34 + 25
On obtient donc :
(x +8)² = -9

qui n’a aucune solution puisque le carré (x +8)² ne peut être négatif.
-34 n’a pas d’antécédent par la fonction f.