I − Sphères et boules

1. Définitions

• On appelle sphère de centre O et de rayon r , l’ensemble des points M de l’espace tels que OM = r .
• On appelle boule de centre O et de rayon r , l’ensemble des points M de l’espace tels que OM ≤ r .

Exemple :

Les points A, B et M appartiennent à la sphère ci-contre, on peut donc affirmer que OA = O B = r

[AB] est un diamètre de la sphère (il joint deux points de la sphère en passant par le centre)

Un cercle qui a pour diamètre un diamètre de la sphère est appelé grand cercle de la sphère. Le cercle en vert est un grand cercle de la sphère.

Remarque

La sphère est l’enveloppe de la boule comme la peau d’une orange.

2. Aire et volume

• Volume d’une boule

Le volume d’une boule se calcule grâce à la formule :

V = 4/3× π × r³
où r est le rayon de la boule.

Exemple :

Question : calculer le volume de la boule ci-contre.

Donnée :
Boule de rayon r = 5 cm.
Réponse :

• Aire de la sphère

L’aire de la sphère se calcule grâce à la formule :

S = 4 × π × r²
où r est le rayon de la sphère.

Exemple :

Question : calculer l’aire de la boule ci-contre.

Donnée :
Boule de rayon r = 6 cm.
Réponse :

II − Rappels : autres volumes

Exemple 1 :

Exemple 2 :

III − Sections de solides

1. Section d’une sphère

Définition

La section d’une sphère de centre O et de rayon r par un plan est un cercle de centre O ′ et de rayon r.

Propriété
(OO ′) est perpendiculaire au plan et 0 ≤ r ′ ≤ r

Illustration

Exemple :

La sphère ci-contre est de centre O et de rayon OA = 7 cm.

On coupe cette sphère par un plan à 4 cm de son centre, on note H le centre de la section obtenue.
1. Quelle est la nature de la section ?
2. Calculer le rayon HA de cette section.
3. Calculer l’aire de cette section.

Réponses :
1. La section d’une sphère par un plan est un cercle, donc la section de cette sphère est un cercle de centre H et de rayon [HA].
2. D’après la propriété précédente, (OH) et (AH) sont perpendiculaires.
OAH est un triangle rectangle en H, donc d’après le théorème de Pythagore on a :

3. [HA] est un rayon de la section, on a donc :

2. Sections d’un pavé droit (ou d’un prisme)

Définition

• Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est un solide dont les six faces sont des rectangles.
• Un cube est un solide dont les six faces sont des carrés.

Propriété : section parallèle à une face (ou une base)

⋄ La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle. La section obtenue a donc les mêmes dimensions que cette face.
⋄ La section d’un prisme droit par un plan parallèle à une base est de la même forme que la base, ainsi que la même dimension.

Exemple :

ABCDEFGH est un pavé droit, donc la section par un plan parallèle à ADHE en grise est un rectangle de même dimension que ADHE .

Propriété : section par un plan parallèle à une arête latérale

⋄ La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arêtes est un rectangle. Les dimensions de la section obtenue se calculent en général avec le théorème de Pythagore.
⋄ La section d’un prisme droit par un plan parallèle à une de ses arêtes latérales est également un rectangle. Sauf cas particulier, on ne demandera pas de calculer ses dimensions. . .

Exemple

ABC D E F GH est un pavé droit, donc la section par un plan parallèle à [H D] en grise est un rectangle.

IV − Section d’une pyramide (ou d’un cône)

1. Définition

Une pyramide est un solide dont :
• une face, la base, est un polygone qui ne contient pas le sommet de la pyramide ;
• les faces latérales sont des triangles qui ont un sommet commun : le sommet de la pyramide.

La hauteur est perpendiculaire à la base et passe par le sommet de la pyramide. Enfin, un cône (de révolution) est une sorte de pyramide dont la base est un disque (ce n’est pas un polygone, ce qui explique que le cône n’appartient pas à la famille des pyramides).

Propriété :

La section d’une pyramide (ou d’un cône) par un plan parallèle à la base est une figure de la même forme que la base. La section obtenue est une réduction de la base.

Exemples