I – Définitions et premiers calculs

Définitions

• On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x (c’est-à-dire x → a × x) où a est un nombre.
• On appelle fonction affine toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x + b
(c’est-à-dire x → a × x + b) où a et b sont deux nombres.

Remarques :
• Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (cas où b = 0). Les fonctions linéaires traduisent des situations de proportionnalité.
• Lorsque a = 0, la fonction est une fonction constante : à tout nombre x, elle associe le nombre b.

Propriétés

• Tout nombre admet une unique image par des fonctions affines et linéaires.
• Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction linéaire ou affine non constante.

Exemple 1 :
Soit la fonction f linéaire telle que f(x) = 2x.
a. Calcule l’image de 3 par la fonction f.
b. Calcule l’antécédent de 7 par la fonction f.

Exemple 2 :
Soit la fonction g affine telle que g(x) = 5x − 1.
a. Calcule l’image de − 7 par la fonction g.
b. Calcule l’antécédent de 14 par la fonction g.

II – Détermination d’une fonction linéaire ou affine

Exemple 1 : Détermine la fonction linéaire f telle que f(5) = 4.

Propriété

Exemple 2 : Détermine la fonction affine g telle que g(5) = 4 et g(− 2) = 25.

III – Représentation graphique

Propriété

La représentation graphique d’une fonction affine g : x → a × x + b est une droite.
Dans le cas d’une fonction linéaire (b = 0), cette droite passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; a).

Remarques :
• a s’appelle le coefficient directeur de la droite : il donne l’accroissement de f(x) lorsque x augmente d’une unité.
• b s’appelle l’ordonnée à l’origine : f(0) = b. La droite passe par le point de coordonnées (0 ; b)

Exemple 1 : Représente graphiquement la fonction linéaire f définie par f(x) = − 0,5x.

Exemple 2 : Représente graphiquement la fonction affine g définie par g : x 3x − 2.

IV – Lectures graphiques

Exemple : Voici le graphique d’une fonction affine notée g.

 
Détermine l’image de − 3 et l’antécédent de − 2 par g.