Fonction paire – cours et exercices corrigés.

Fonction paire

1) Définition

Soit 𝒇 une fonction et son ensemble de définition  I symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout 𝒙 ∈ I , 𝒇(−𝒙) = 𝒇(𝒙)

2) Méthode et exemple :

Pour montrer qu’une fonction est paire sur un intervalle I :
● On vérifie que l’intervalle I est symétrique par rapport à 0.
● On calcule 𝑓(−𝑥) , en remplaçant 𝑥 par (−𝑥) dans l’expression de 𝑓(𝑥) et on montre qu’elle est égale à 𝑓(𝑥)

Exemple :

étudier la parité de la fonction  suivante :

Comme 1+𝑥² ≥ 1 sur ℝ , 1+𝑥² ≠ 0, la fonction est donc définie sur ℝ.
( ℝ est bien symétrique par rapport à 0)

Pour tout 𝑥 ∈ ℝ , 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥),  𝑓 est donc paire.

3) Interprétation géométrique

La représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées

Exercices corrigés

Exercice 1

Les fonctions suivantes sont paires. Compléter leur représentation graphique Solution

Exercice 2

Les fonctions suivantes sont paires. Compléter leur représentation graphique. Solution

Exercice 3

Montrer que la fonction définie sur par   est paire.

Solution

Pour tout réel non nul  :

Pour tout , donc  est paire.

Remarques :
– Etudier la parité d’une fonction revient à déterminer si elle est paire, impaire ou ni paire, ni impaire.
– La fonction nulle est la seule fonction qui soit à la fois paire et impaire.
– Pour montrer qu’une fonction définie sur Df n’est pas paire, il suffit :
 Soit de montrer que son ensemble de définition Df n’est pas centré en zéro ;
 Soit de montrer qu’il existe un réel a de Df tel que f(-a) = f(a).

Autrement dit, une fonction estpaire si elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Visuellement, cela signifie que si vous tracez le graphe de la fonction dans un repère cartésien, il sera symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. En d’autres termes, si vous prenez n’importe quel point (x, y) sur le graphe, le point correspondant (-x, y) sera également sur le graphe.