Fonction paire et impaire

Définition : Ensemble symétrique par rapport à 0

Un ensemble de ℝ (par exemple un intervalle) est dit symétrique par rapport à 0 si, pour tout nombre de l’ensemble, son opposé appartient à l’ensemble.

Exemples
L’intervalle [–5 ; 5] est symétrique par rapport à 0.
L’intervalle [–4 ; 3] n’est pas symétrique par rapport à 0 (par exemple –4 est dans l’intervalle mais pas son opposé qui est 4).

I- Fonction paire

Définition : 

Une fonction f, définie sur un ensemble de définition D symétrique par rapport à 0, est dite paire si, pour tout réel x de D, on a f (–x) = f (x).

Propriété : Symétrie de la courbe d’une fonction paire

La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Exemple
La fonction f définie sur ℝ par f (x) = x² est paire. En effet, l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.

De plus, f (–x) = (–x)² = x² = f (x) pour tout réel x.

pour plus des détails sur la fonction paire : cliquez ici

II- Fonction impaire

Définition : 

Une fonction f, définie sur un ensemble de définition D symétrique par rapport à 0, est dite impaire si, pour tout réel x de D, on a f (–x) = –f (x).

Propriété : Symétrie de la courbe d’une fonction impaire

La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

Remarque :  Si la courbe d’une fonction semble symétrique par rapport à l’origine, on peut conjecturer que la fonction est impaire.

Exemple
La fonction f définie sur ℝ par f (x) = x³ est impaire. En effet, l’ensemble de définition est symétrique par rapport à 0.

De plus, f (–x) = (–x)³ = (–x) × (–x) × (–x)= –x³ = –f (x) pour tout réel x.

pour plus des détails sur la fonction impaire : cliquez ici

Exercices corrigés

Exercice 1

Parmi les fonctions suivantes, retrouver celles qui sont paires, celles qui sont impaires, et celles qui ne sont ni paires ni impaires :

Solution

Exercice 2

Les fonctions suivantes sont paires. Compléter leur représentation graphique.

Solution

Exercice 3

Les fonctions suivantes sont impaires. Compléter leur représentation graphique.

Solution

Exercice 4

Montrer que la fonction définie sur $$\mathbb{R}\backslash \{0\}$$ par   est paire.

Solution

Pour tout réel non nul $$x$$ :

​​​​

Pour tout $$x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}$$, $$f(-x)=f(x)$$ donc la fonction $$f$$ est paire.

Exercice 5

Etudier la parité de la fonction définie sur $$\mathbb{R}$$ par f : x ↦

Solution

On va donc montrer que $$f$$ est impaire.

Pour tout réel $$x$$ :

Pour tout réel $$x$$, $$f(-x)=-f(x)$$ donc la fonction $$f$$ est impaire.