Les exercices sur les triangles et parallèles en quatrième .
Théorème des milieux
Exercice 1:
ABC est un triangle. I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].
Montrer que (IJ) est parallèle à (BC) ?
Dans le triangle ABC
On sait que I est le milieu de [AB] Et J est le milieu de [AC]
Conclusion (IJ) est parallèle à (BC)
Exercice 2:
ABC est un triangle. M est le milieu de [AB]. La droite (d), parallèle à [BC] passant par M coupe [AC] en N.
Montrer que N est le milieu de [AC] ?
Dans le triangle ABC
On sait que M est le milieu de [AB] et (d) est parallèle à [BC], passe par M et coupe [AC] en N.
Conclusion N est le milieu de [AC]
Exercice 3:
Deux cercles de centres respectifs O et O’ se coupent en deux points
A et B.
On trace le diamètre [AC] dans l’un et le diamètre [AD] dans l’autre.
1. Faire la figure.
2. Démontrer que (CD)//(OO’) et que OO’= CD/2 .
1. la figure.
2. Dans le triangle ACD :
On sait que O milieu de [AC] et O’ milieu de [AD].
Propriétés :
Dans un triangle, toute droite passant par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième côté.
Dans un triangle, toute segment ayant pour extrémités les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de celle du troisième côté.
Donc : [OO’]//[CD] et OO’ = CD/2
Exercice 4:
[AB] est un segment de longueur 3 cm.
O est un point n’appartenant pas à [AB].
a. Construire les points M et N, symétriques de O par rapport à A et B.
b. Démontrer que (AB) et (MN) sont parallèles.
c. Démontrer que MN = 6 cm
a. M et N sont les symétriques de O par rapport à A et B.
b. Premier pas :
On sait que M et N sont les symétriques de O par rapport à A et B.
Propriété : Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment formé par un point et son symétrique.
Donc A est le milieu de [OM] et B est le milieu de [ON].
Deuxième pas :
On sait que dans le triangle OMN, A est le milieu de [OM] et B est le milieu de [ON].
Propriété : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième côté.
Donc (AB) est parallèle à (MN).
c. On sait que dans le triangle OMN, A est le milieu de [OM] et B est le milieu de [ON].
Propriété : Dans un triangle, si un segment a pour extrémités les milieux de deux côtés, sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Donc MN = 2×AB = 2× 3 = 6cm
Exercice 5:
(d) et (d’) sont deux droites sécantes en A. On place les points I et J respectivement sur (d) et (d’), puis M est le milieu de [AI].
a. Faire une figure.
b. Tracer la parallèle à (IJ) passant par M. Elle coupe (d’) en N.
c. Que peut-on dire du point N ? Expliquer.
a. La figure.
b. Tracer la parallèle à (IJ) passant par M.
Elle coupe (d’) en N.
c.
On sait que dans le triangle AIJ, M est le milieu de [AI] et (IJ) // (MN).
Propriété : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté, et si elle est parallèle à un deuxième côté, elle coupe le troisième côté en son milieu.
Donc N est le milieu de [AJ].
Théorème de Thalès
Exercice 6:
Les droites en pointillés sont parallèles. Retrouver pour chaque figure les deux triangles et les deux droites parallèles, puis écrire l’égalité de rapports correspondante :
Exercice 7:
ABC est un triangle tel que :
AB = 6 cm ; AC = 7,5 cm ; BC = 4,5 cm
M est un point de [AB] tel que AM = 2 cm. On trace la parallèle à (BC) passant par M. Elle coupe [AC] en N.
a. Faire une figure à main levée :
b. écrire l’égalité de rapports correspondante
c. Déterminer la longueur AN :
Exercice 8:
a. Les droites (Δ1), (Δ2), et (Δ3) sont parallèles.
OA=4 ; OB=2 ; OC=5 ; OK=4,5 ; JB=1
Déterminer les longueurs OJ et KC (On arrondira le résultat au dixième).
b. Les droites (Δ1), (Δ2), (Δ3) et (Δ4) sont parallèles.
OJ=2,5 ; OB=4,8 ; IJ=1,6
MN=4,5 ; RS=1,2 ; BM=12,1
Déterminer les longueurs AB et OR (On arrondira le résultat au dixième).
Exercice 9:
Le joueur s’apprête à tirer un coup franc à 20m du but. Le gardien de but adverse a placé un mur de joueurs à 9,15m du ballon.
Le tireur va botter le ballon si fort que sa trajectoire sera considérée comme rectiligne. Exercices sur les Triangles et parallèles
a. Quelle devrait être la taille maximale des joueurs composant le mur pour que le tir soit cadré ?
b. Si les joueurs mesuraient 1,80m, combien devrait mesurer la cage pour que le tir soit cadré ?
c. A quelle distance du but devrait se trouver le tireur si le mur mesure 1,80m et la cage 2,44m ?
a. on demande la longueur de h = EF :