I. Équations du premier degré a une inconnue

1- Définition

Une équation est une égalité de deux expressions littérales appelés les membres de l’équation.
Une équation est dite du premier degré à une inconnue x lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme : ax + b = cx + d

→ ax + b est le premier membre, cx + d est le second membre.
(a, b, c, d, désignant des nombres avec a≠c)
Exemple : Soit l’équation est dite du premier degré : 5x + 6 = 4 + 3x
Résoudre une équation, c’est trouver la valeur de l’inconnue x qui rend l’égalité vraie.
Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on peut donner à x pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l’équation.

Equations de référence :

2- Propriétés :

Si on ajoute ou si on soustrait un même nombre ou une même expression aux deux membres d’une équation du premier degré, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que l’équation initiale.

Si on multiplie ou si on divise un même nombre non nul ou une même expression non nulle les deux membres d’une équation du premier degré, on obtient une nouvelle équation qui a les mêmes solutions que l’équation initiale.

Une équation ne change pas si l’on ajoute, si l’on soustrait, si l’on multiplie ou si l’on divise les deux membres de l’équation par un même nombre non nul.

Ainsi, pour toutes expressions littérales A et B, si on considère k ≠ 0 , on a :

Preuve :

Si x = 5, on a :
5x – 6 = 5 × 5 – 6 = 25 – 6 = 19
4 + 3x = 4 + 3 × 5 = 4 + 15 = 19

II. Équations « produit nul »

1- Produit nul :

Propriétés :

Si au moins un des facteurs d’un produit est nul, alors ce produit de facteurs est nul.
Si A = 0 ou si B = 0 , alors A×B = 0.

Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.
Si A×B = 0 , alors A = 0 ou B = 0

2- Equations (ax + b)(cx + d ) = 0 :

Propriétés :

Soit a, b, c, d quatre nombres.
Les solutions de l’équation « produit nul » (ax + b)(cx + d ) = 0 sont les nombres x tels que :
(ax + b) = 0 ou  (cx + d ) = 0