Domaine de définition d’une fonction

I- A partir d’un graphique

Méthode / Explications :

Pour déterminer le domaine de définition, on regarde sur quel intervalle la courbe est tracée : la plus petite valeur de 𝒙 et la plus grande.

Exercice 1 : On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Quelle est son domaine de définition ?

Réponse :

Le domaine de définition de la fonction f est : [-4 ; 3]

Exercice 2 : On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. Quelle est son Df ?

Réponse :

Df = [-7 ; 7]

II- A partir de l’expression d’une fonction

Méthode / Explications :

Pour déterminer le domaine de définition d’une fonction, s’il n’est pas donné, on regarde les valeurs, où la fonction ne peut pas être définie, comme par exemple :
• La fonction 𝒙 ↦ 1/x .n’est pas définie en 0 (puisque nous ne pouvons pas diviser par 0) alors Df = ℝ\{𝟎}

• De même, la fonction 𝒙 ↦ √𝒙 , n’est définie que pour 𝒙 ≥ 𝟎 (la racine carré d’un nombre négatif n’existe pas) donc Df = [0 ; +∞[

• La fonction 𝒙 ↦𝟏/√𝒙 n’est définie que lorsque 𝒙 est positif (pour la racine carrée) et non nul (pour l’inverse) donc Df = ]0 ; +∞[

Exercice 1 : Déterminer le domaine de définition de la fonction

Réponse :

Cette fonction n’est pas définie pour :
𝒙 + 𝟑 = 𝟎
C’est-à-dire 𝒙 = −𝟑
(On ne peut pas diviser par 0)
Le domaine de définition est donc ℝ\{−𝟑}

Exercice 2 : Déterminer le Df de la fonction  :     𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 5 

Réponse :

𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙 − 𝟓.
Cette fonction n’est définie que lorsque :
𝟑𝒙 − 𝟓 ≥ 𝟎.
Ce qui revient à :
𝟑𝒙 ≥ 𝟓
C’est-à-dire :
𝒙 ≥ 𝟓/𝟑 (La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas)
Df =  [𝟓/𝟑 ; +∞[

Exercice 3 : Déterminer le Df de la fonction  : 

Réponse :

Cette fonction n’est définie que lorsque : 𝟒𝒙 + 𝟓 ≠ 𝟎 (dénominateur non nul)
𝟒𝒙 + 𝟓 = 𝟎  pour : 𝒙 = −𝟓/𝟒
Df =  ℝ\ {−𝟓/𝟒}

Exercice 4 : Déterminer le Df de la fonction  : 

Réponse :

Cette fonction n’est définie que lorsque :
𝒙 + 𝟑 ≠ 𝟎  et  𝒙 − 𝟓 ≠ 𝟎

c’est-à-dire :
𝒙 + 𝟑 = 𝟎 

pour : 
𝒙 = −𝟑 

𝒙 − 𝟓 = 0
pour : 
𝒙 = 𝟓
Df =  ℝ ∖ {−𝟑; 𝟓}

Exercice 5 : Déterminer le Df de la fonction  : 

Réponse :

Cette fonction n’est définie que lorsque son dénominateur est non nul : 
√𝟑𝒙 + 𝟏 ≠ 0 (dénominateur non nul) et 𝟑𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟎 à cause de la racine.
C’est-à-dire :
𝟑𝒙 + 𝟏 > 𝟎 . Ce qui donne 𝒙 > −𝟏/𝟑
Df =  ]−𝟏/𝟑 ; +∞[

Exercice 6 : Déterminer le Df de la fonction  : 

Réponse :

Cette fonction n’est définie que lorsque :
(𝟑𝒙 − 𝟐)(−𝟐𝒙 + 𝟒) ≥ 0 (racine carrée)
Faisons un tableau de signe :

Exercice 7 : Déterminer le Df de la fonction  : 

Réponse :