Décomposition en facteurs premiers
Les exercices corrigés en décomposition en facteurs premiers.
Exercice 1:
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres suivants :
63 ; 70 ; 210 ; 140 ; 280 ; 342 ; 72 ; 144 ; 242
Exercice 2:
1- Écrire la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants :
a] 60
b] 117
c] 421
d] 512
e] 943
f] 113 256
2-Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour réduire la fraction 1204/258
1- Écrire la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants :
a] 60 = 2²×3×5
b] 117 = 3²×13
c] 421 = 421
d] 512 = 2ˆ9
e] 943 = 23×41
f] 113 256 = 2³×3²×11²×13
2-Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour réduire la fraction 1204/258
1204/258 = (2×2×7×43)/(2×3×43) = (2×7)/(3) = 14/3
Exercice 3:
1. Décomposer les nombres 6120 et 5712 en produit de facteurs premiers.
2. En déduire la liste des diviseurs communs à ces deux nombres entiers.
3. Quel est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
4. Simplifier la fraction 5712/6120.
1. Décomposer les nombres 6120 et 5712 en produit de facteurs premiers.
6120 = 2×2×2×3×3×5×17 = 2³×3² ×5×17
5712 = 2×2×2×2×3×7×17 = 2ˆ4 ×3×7×17
2. En déduire la liste des diviseurs communs à ces deux nombres entiers.
Diviseurs de 6120 : 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — 8 — 9 — 10 — 12 — 15 — 17 — 18 — 20 — 24 — 30 — 34 — 36 — 40
— 45 — 51 — 60 — 68 — 72 — 85 — 90 — 102 — 120 — 136 — 153 — 170 — 180 —204 — 255 — 306 — 360 — 340
— 408 — 510 — 612 — 680 — 765 — 1020 — 1224 — 1530 — 2040 — 3060 — 6120
Diviseurs de 5712 : 1 — 2 — 3 — 4 — 6 — 7 — 8 — 12 — 14 — 16 — 17 — 21 — 24 — 28 — 34 — 42 — 48 — 51 — 56
— 68 — 84 — 102 — 112 — 119 — 136 — 168 — 204 — 238 — 272 — 336 — 357 — 408 — 476 — 714 — 816 —952
— 1428 — 1904 — 2856 — 5712
3. Quel est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
Le plus grand diviseur commun est 408
4. Simplifier la fraction 5712/6120.
5712/6120 = (408×14)/(408×15) = 14/15
Exercice 4:
1- Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il s’agit d’un nombre premier :
2- En déduire le PGCD et le PPCM des nombres 430 et 440
3- Simplifier la fraction 430/440
1- Donner la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants, et préciser quand il s’agit d’un nombre premier :
470 = 2 × 235 = 2 × 5 × 47
96 = 2 × 48 = 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
430 = 2 × 215 = 2 × 5 × 43
440 = 2 × 220 = 2 × 2 × 110 = 2 × 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 2 × 5 × 11
401 est un nombre premier.
2- En déduire le PGCD des nombres 430 et 440
D’après la question 1), on sait que les nombres 430 et 440 ont comme facteurs premiers communs :
2, 5.
On en déduit que le PGCD des nombres 430 et 440 est : 2 × 5 = 10.
3- Simplifier la fraction 430/440
430/440 = (430÷10)/(440÷10) = 43/44 .
Exercice 5:
Ysarn n’a utilisé sa calculatrice qu’une seule fois pour savoir que 2600 et 54713 sont premiers entre eux.
Comment a-t-il raisonné ?
On a 2600 = 26×100 donc 2600 = 2×13×10×10 d’où 2600 = 2³×5²×13.
Ysarn a vu que 54713 n’était divisible ni par 2 ni par 5.
Ensuite, il lui a suffi de taper 54713:13 sur sa calculatrice pour voir que 54713 n’est pas divisible par 13.
Par conséquent 2600 et 54713 sont premiers entre eux.
Exercice 6:
Un artisan souhaite recouvrir une terrasse rectangulaire de 4,2 m de large et de 6,16 m de long à l’aide de
dalles carrées identiques sans faire de découpe.
1. Déterminer si l’artisan peut utiliser les dalles suivantes.Si oui, préciser le nombre de dalles nécessaires pour couvrir la terrasse.
a] Dalles de 2 cm de côté.
b] Dalles de 10 cm de côté.
2. Quelle sera la taille maximale, en nombre entier de cm, des dalles ?
Préciser le nombre de dalles nécessaires.
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