I − Vocabulaire

Définition

Un phénomène dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat s’appelle une expérience aléatoire.

Exemple :
• Le lancer d’un dé à 6 faces est une expérience aléatoire : on ne sait pas quel nombre va donner le dé mais ce sera forcement 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6.
• Tirer, au hasard, un jeton dans une boîte qui contient 4 jetons oranges et 7 jetons blancs est une expérience aléatoire : on ne sait pas de quelle couleur sera le jeton mais ce sera forcement orange ou blanc.

Définition

• Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont appelées issues.
• Un événement est un « regroupement » d’une ou plusieurs issues.

Exemple :

• « Obtenir le nombre 1 » ; « Obtenir le nombre 2 » ; « Obtenir le nombre 3 » ; « Obtenir le nombre 4 » ; « Obtenir le nombre 5 » ; « Obtenir le nombre 2 » sont les issues.
• « Obtenir un nombre pair » ; « Obtenir le nombre 1 » ou encore « Obtenir un multiple de 3 » sont des événements.

Définition

Un événement qui ne peut pas se réaliser est appelé événement impossible. Un événement qui se réalise toujours est un événement certain

Exemple :

• Lorsque l’on lance un dé à 6 faces, l’événement « Obtenir le nombre 7 » est un événement impossible.
• Lorsque l’on lance une pièce de monnaie, l’événement « Obtenir pile ou face » est un événement certain

Définition

Deux événements sont dit incompatibles s’il ne peuvent pas se réaliser en même temps.

Exemple :

• Lorsque l’on lance un dé à 6 faces, les événements « Obtenir le nombre 1 » et « Obtenir un nombre pair » sont incompatibles.
• De même, quand on tire une carte au hasard dans un jeu de cartes, les événements « Tirer une carte rouge » et « Tirer le roi de trèfle » sont également incompatibles.

Définition

L’événement contraire d’un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. On le note Ā.

Exemple :

• L’expérience aléatoire est un lancé de dé à 6 faces.
Si l’événement A est « obtenir un nombre pair » l’événement Ā est « Obtenir un nombre impair »
• L’expérience aléatoire est tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Si l’événement B est « Tirer un cœur », l’événement B¯ est « Tirer une carte qui n’est pas un cœur

II − Probabilité

Définition

Lorsque l’on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un événement devient proche d’un nombre appelé sa probabilité.

Propriété

Lorsque l’on peut déterminer toutes les issues possibles la probabilité d’un événement A est donnée par la formule :

Exemple :

On considère l’expérience aléatoire : tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
Question : Quelle est la probabilité des événements suivants :
• A : « La carte tirée est une dame » ?
• B : « La carte tirée est une figure rouge »

Réponses :
• L’événement A est réalisé quand on tire la dame de cœur, la dame de pique, la dame de carreau ou la dame de trèfle.
Cas favorables : 4 cartes
Cas possibles : 32 cartes
Donc p(A) = 4/32 = 1/8.

• L’événement B est réalisé quand on tire le roi de cœur, la dame de cœur, le valet de cœur, le roi de carreau, la dame de carreau ou le valet de carreau.
Cas favorables : 6 cartes
Cas possibles : 32 cartes
Donc p(B) = 6/32 = 3/16.

Propriété

• Une probabilité est comprise entre 0 et 1.
• La somme des probabilités des issues d’une expérience aléatoire est égale à 1.

Exemple :

On considère un lancer d’une pièce de monnaie (expérience aléatoire).
La probabilité de l’issue « Obtenir pile » est de 1/2 ; celle de l’issue « Obtenir face » est de 1/2.
La somme des probabilités des issues est donc (1/2)+ (1/2) = 1

Propriété

p(A) + p(A) = 1 ce qui s’écrit aussi p(A) = 1 − p(A) ou p(A) = 1 − p(A) .

Exemple :

On considère l’expérience aléatoire : tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On note A l’événement « La carte tirée est une figure rouge » et B l’événement « La carte tirée n’est pas une figure rouge ».

Calcul de la probabilité de A :
L’événement A est réalisé quand on tire le roi de cœur, la dame de cœur, le valet de cœur, le roi de carreau, la dame de carreau ou le valet de carreau.
Cas favorables : 6 cartes
Cas possibles : 32 cartes
Donc p(A) = 6/32 = 3/16.

Calcul de la probabilité de B :
L’événement B est l’événement contraire de A, on a donc :

III − Exemples d’expériences à deux épreuves

Exemple :

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : 2 noires et 3 blanches. On dispose également de deux sacs contenant des jetons : un noir et un blanc.
Le sac noir contient un jeton noir et trois jetons blancs. Le sac blanc contient deux jetons noirs et deux jetons blancs.
On extrait une boule au hasard de l’urne puis on tire un jeton dans le sac qui est la même couleur que la boule tirée.

Questions :
1. Construire un arbre pondéré.
2. Déterminer la probabilité de chacune des issues.
3. Déterminer la probabilité de l’événement A “la boule et le jeton sont de la même couleur”

Réponses :

1. On note N l’événement « Tirer une boule noire », B l’événement « Tirer une boule blanche », n l’événement « Tirer un jeton noir » et b l’événement « Tirer un jeton blanc ».
Calcul de la probabilité de N :
Cas favorables : 2 car il y a deux boules noires dans l’urne.
Cas possibles : 5 car il y a cinq boules dans l’urne.
Donc p(N) = 2/5.
Calcul de la probabilité de B :
Cas favorables : 3 car il y a deux boules blanches dans l’urne.
Cas possibles : 5 car il y a cinq boules dans l’urne.
Donc p(B) = 3/5.
Calcul de la probabilité de n, lorsque l’on tire le jeton dans le sac noir :
Cas favorables : 1 car il y a un seul jeton noir dans le sac noir.
Cas possibles : 4 car il y a quatre jetons dans le sac noir.
Donc p(n) = 1/4.