Courbe représentative d’une fonction

I- Représentation graphique d’une fonction

a. Définition

On considère le repère (O,i ,j ). On appelle représentation graphique de la fonction f l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) où x appartient à l’ensemble de définition D.

Exemple :

On va représenter sur l’intervalle [-2 ; 2] la fonction définie par f :              x→ (x – 1)² – 3
On va utiliser le tableau des valeurs :

Remarque :
Puisque chaque nombre de l’ensemble de définition a une image et une seule, alors toute droite « verticale » a un point d’intersection et un seul avec la courbe de la fonction.
On parle de la « courbe d’équation y = (x – 1)² – 3 »

II- Résolutions graphiques

a. Equation/inéquation du type f(x) = b ou f(x) > b (Exemple)

On a représenté la courbe Cf représentative d’une fonction f définie sur l’intervalle [-4 ; 4].

Résolution d’une équation

Résoudre l’équation f(x) = a revient à chercher les nombres qui ont pour image a.
Graphiquement, cela revient à chercher l’abscisse des points d’intersection de la courbe avec la droite d’équation y = a.
S = {-2 ; 3}

Résolution d’une inéquation

Résoudre l’inéquation f(x) > b revient à chercher les nombres qui ont une image supérieure à b.
Graphiquement, cela revient à chercher l’abscisse des points de la courbe situés « au dessus » de la droite d’équation y = b.
S = [-4 ; -1[ ∪ ]2 ; 4]

b. Equation/inéquation du type f(x) = g(x) ou f(x) > g(x) (Exemple)

On a représenté les courbe Cf et Cg représentant deux fonctions f et g définies sur l’intervalle [-4 ; 4].

Résolution d’une équation

Résoudre l’équation f(x) = g(x) revient à chercher les nombres qui ont la même image par f et par g.
Graphiquement, cela revient à chercher l’abscisse des points d’intersection de la courbe Cf coupe la courbe Cg.

S = {-1 ; 3}

Résolution d’une inéquation

Résoudre l’inéquation f(x) > g(x) revient à chercher les nombres dont l’image par f est supérieure à l’image par g.
Graphiquement, cela revient à chercher l’abscisse des points pour lesquels de la courbe Cf est au dessus la courbe Cg.
S = [-4 ; -3[ ∪ ]1 ; 4]

Exercices corrigés

Exercice 1

On considère la fonction f définie par :

a. Compléter le tableau de valeurs (en utilisant la machine) :

b. Construire la courbe représentative de f
c. La courbe ci-dessous correspond-elle au tableau ?

Solution

a. Compléter le tableau de valeurs (en utilisant la machine) :

b. Construire la courbe représentative de f

c. La courbe ci-dessous correspond-elle au tableau ?

OUI cette courbe pourrait correspondre au tableau

Exercice 2

On a tracé dans le même repère les courbes Cf, Cg et Ch qui représentent les fonctions f, g et h, définies sur l’intervalle [8 ; 8]

a. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = g(x).
b. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = h(x).
c. Résoudre graphiquement l’équation g(x) = h(x).
d. Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) ≥ g(x).
e. Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) < h(x).
f. Résoudre graphiquement l’inéquation g(x) > h(x).

Solution

a. Les courbes Cf et Cg se coupent en A, B, E et F, donc l’équation f(x) = g(x) admet 4 solutions :
x = -7 ; x = -5 ; x = 3 et x = 6

b. Les courbes Cf et Ch se coupent en A, B et F, donc l’équation f(x) = h(x) admet 3 solutions :
x = -7 ; x = -5 et x = 6 

c. Les courbes Cg et Ch se coupent B en A, B, C, D et F, donc l’équation g(x) = h(x) admet 5 solutions :
x = -7 ; x = -5 ; x = -2 ; x = 0 et x = 6

d. La courbe Cf est au-dessus de  Cg avant A et entre B et E, donc l’inéquation f(x) ≥ g(x) est vraie  pour x ∈ [-8 ; -7] ∪ [-5 ; 3] ∪ [6 ; 8]

e. La courbe Cf est au-dessous de Ch entre A et B et après F, donc pour x ∈ ]-7 ; -5[ ∪ ]6 ; 8] 

f. La courbe Cg est au-dessus de Ch avant A, entre B et C et entre D et F, donc l’inéquation g(x) > h(x) est vraie pour x ∈ [-8 ; -7[ ∪ ]-5 ; -2[ ∪ ]0 ; 6[

Exercice 3

1. Compléter le tableau de valeurs de la fonction f :

2. a. En lisant dans le tableau, pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f(x) = 2 ?
b. En lisant dans le tableau, pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on f(x) ≥ 2 ?
3. Tracer la droite d’équation y = 2.
a. A quoi correspondent les solutions de l’équation f(x) = 2 ?
b. A quoi correspondent les solutions de l’inéquation f(x) ≥ 2 ?
4. Tracer les droites d’équation y =–3 et y = 0, puis lire sur le graphique les solutions des équations et inéquations suivantes :
f(x) =–3

f (x) = 0

f (x) ≥ –3

f (x) < 0

Solution

1. Compléter le tableau de valeurs de la fonction f :

2. a. f (x) = 2 pour x =–11 ; x =–3 ; x = 1 ; x = 3 ; x = 9 ; x = 12
b. f (x) ≥ 2 pour x∈ [–12 ;11] ∪ [3 ; 3] ∪ {9} ∪ {12}
3. Tracer la droite d’équation y = 2.
a. Les sol. de l’équation f(x) = 2 correspondent aux points d’intersection de la courbe et de la droite.
b. Les solutions de l’inéquation f (x) ≥ 2 correspondent aux valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de la droite y = 2.
4. Tracer les droites d’équation y =–3 et y = 0 :

f (x) =–3 pour x =–9 ; x =–5 ; x = 5 ; x = 7

f (x) ≥–3 pour x∈ [–12 ;9] ∪ [–5 ; 5] ∪ [7 ; 12]
f (x) = 0 pour x =–10 ; x =–4 ; x = 4 ; x = 8 ; x =10 ; x =11

f (x) < 0 pour x∈ ]–10 ;–4[ ∪ ]4 ; 8[ ∪ ]10 ; 11[