Coordonnées d’un vecteur

Définition

( 𝑶 ; 𝑰 , 𝑱) est un repère du plan et 𝒖⃗ est un vecteur donné. La translation de vecteur 𝒖⃗ associe au point O un unique point M. On sait que 𝒖⃗ = 𝑶𝑴⃗

Dans un repère (𝑶 ; 𝑰 , 𝑱), les coordonnées d’un vecteur 𝐮⃗ sont les coordonnées du point M tel que 𝒖⃗ = 𝑶𝑴⃗

Ci-contre le vecteur 𝒖⃗ a pour coordonnées ( 𝟑 ; −𝟏)

Autre notation d’un repère :
Bien souvent au lieu de noter (𝑶 ; 𝑰 , 𝑱) un repère, on le note ( 𝑶 ; 𝒊⃗,𝒋⃗) avec
𝒊⃗ = 𝑶𝑰 ⃗ et 𝒋⃗ = 𝑶J ⃗

Exemple
Sur la figure ci-contre les vecteurs 𝑢⃗ ,𝑣⃗ et 𝑤⃗ sont associés respectivement aux points M, N et P donc 𝑢⃗ ( –1 ; 3), 𝑣⃗ ( 2 ; 0) et 𝑤⃗ ( 1 ; 2)

Remarque : Le vecteur nul a pour coordonnées (0 ; 0)

Propriété

Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes
coordonnées dans un repère.
C’est à dire, dans un repère les vecteurs 𝒖⃗ (𝒙 ; 𝒚) et 𝒗⃗ (𝒙 ; 𝒚’) sont égaux si, et seulement si, 𝒙 = 𝒙’ et 𝒚 = 𝒚’

Démonstration :
La translation de vecteur 𝑢⃗ associe au point O, le point 𝑀.
La translation de vecteur 𝑣⃗ associe au point O, le point 𝑁.
On a 𝑢⃗ = 𝑣⃗ si, et seulement si, les points 𝑀 et 𝑁 sont confondus donc si, et seulement si, 𝑀 et 𝑁 ont les mêmes coordonnées.

Coordonnées du vecteur 𝐀𝐁⃗

Propriété

Dans un repère, on considère les points 𝑨( 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ) et 𝑩( 𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ).
Les coordonnées du vecteur 𝐀𝐁⃗ sont (𝒙𝑩– 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑩 – 𝒚𝑨)

Démonstration
Dans un repère (O ; 𝑖⃗, 𝑗⃗) , on note 𝑀 le point tel que OM = AB donc 𝐴𝐵𝑀O et un parallélogramme, les segment [𝑂𝐵] et [𝐴𝑀] ont le même milieu 𝐾.

On a donc :

On en déduit :
𝑥𝑀 = 2 𝑥𝐾 – 𝑥𝐴 = (2𝑥𝐵)/2− 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝑦𝑀= 2 𝑦𝐾 – 𝑦𝐴 =( 2𝑦𝐵)/2− 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
Or les coordonnées du vecteur 𝐴𝐵⃗  sont les coordonnées du point 𝑀 c’est à dire 𝐴𝐵⃗(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)

Exemple
Si dans un repère, on donne les points 𝐴( 2 ; – 3) , 𝐵( 1 ; 5 ) , 𝐶 ( 1 ; 4 ) 𝑒𝑡 𝐷 ( 0 ; – 2 )
On a alors :
𝐴𝐵⃗(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴) donc 𝐴𝐵⃗ ( 1 – 2 ; 5 – ( – 3)) d’où 𝐴𝐵⃗ (– 1 ; 8)

𝐷𝐶⃗ (𝑥𝐶 − 𝑥𝐷 ; 𝑦𝐶 − 𝑦𝐷 ) donc 𝐷𝐶⃗ (1 – 0 ; 4 – (– 2)) d’où  𝐷𝐶⃗ ( 1 ; 6 )

𝐴𝐶⃗(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 ; 𝑦𝐶 − 𝑦𝐴) donc 𝐴𝐶⃗ (1 – 2 ; 4 – (– 3)) d’où 𝐴𝐶⃗ ( – 1 ; 7 )

Exercice 

Calculer les coordonnées de ces vecteurs à partir de celles des points A, B, C, D, E et F.
A(3 ; 4) B(2 ; 5) C(–1 ; 3)
D(5 ; –1) E(0 ; –4) F(–6 ; 0)
O est l’origine du repère

Solution