Les exercices corrigés sur le cercle circonscrit à un triangle rectangle .
Exercice 1:
SI un triangle ABC est rectangle en A ALORS ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI un triangle ABC est rectangle en B ALORS ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [……]
b. SI un triangle DEF est rectangle en F ALORS ……… est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [……]
SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [BC] ALORS ABC est rectangle en A
Compléter les propriétés suivantes :
c. SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB]
ALORS ……. est rectangle en ….
d. SI DEF est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [DE]
ALORS ……. est rectangle en ….
a. SI un triangle ABC est rectangle en B ALORS ABC est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AC]
b. SI un triangle DEF est rectangle en F ALORS DEF est inscrit dans un demi-cercle de diamètre [DE]
c. SI ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [AB]
ALORS ABC est rectangle en C
d. SI DEF est un triangle inscrit dans un demi-cercle de diamètre [DE]
ALORS DEF est rectangle en F
Exercice 2:
SI l’angle BMC^ est droit ALORS le point M appartient au cercle de diamètre [BC]
Compléter les propriétés suivantes :
a. SI l’angle AB^ C est droit ALORS le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
b. SI l’angle EM^ F est droit ALORS le point ….. appartient au cercle de diamètre [……….]
SI un point M appartient au cercle de diamètre [BC] ALORS l’angle BMC^ est droit
Compléter les propriétés suivantes :
c. SI un point A appartient au cercle de diamètre [IJ] ALORS l’angle ………. est droit
d. SI un point C appartient au cercle de diamètre [AB] ALORS l’angle ………. est droit
a. SI l’angle AB^C est droit ALORS le point B appartient au cercle de diamètre [AC]
b. SI l’angle EM^F est droit ALORS le point M appartient au cercle de diamètre [EF]
c. SI un point A appartient au cercle de diamètre [IJ] ALORS l’angle IÂJ^ est droit
d. SI un point C appartient au cercle de diamètre [AB] ALORS l’angle AC^B est droit
Exercice 3:
Sans tracer les médiatrices de ces 3 triangles, construire leur cercle circonscrit :
Exercice 4:
Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles suivants sont ils rectangles ? (O est le centre du cercle).
Exercice 5:
Sans utiliser l’équerre…
a. Construire un triangle ABC rectangle en C tel que AC = 3 cm.
b. Construire un triangle DEF rectangle en E tel que FDE^ = 45°.
Exercice 6:
Sans utiliser l’équerre…
a. Construire le point M tel que les triangles ABM et BCM soient rectangles en M.
b. Existe-t-il un point P tel que les triangles ABP, BCP et ACP soient rectangles en P ?
Exercice 7:
ABC est un triangle rectangle en A, tel que BC = 5 cm. O est le milieu de [BC].
a. Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?
PUISQUE ………………………………………………………
ALORS …………………………………………………………
………………………………………………………………….
b. En déduire l’égalité de 3 longueurs :
……… = ……… = ………
c. Combien mesure le segment [AO] ? Expliquer.
………………………………………………………………….
…………………………………………………………………
a. Quel est le centre du cercle circonscrit à ce triangle (citer la propriété) ?
PUISQUE le triangle ABC est rectangle en A
ALORS le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse [BC].
b. En déduire l’égalité de 3 longueurs :
OA = OB = OC
c. Combien mesure le segment [AO] ? Expliquer.
Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l’hypoténuse a pour longueur la moitié de celle de l’hypoténuse.
Donc :
OA = 1/2 ×BC = 1/2 × 5 = 2,5 cm
Exercice 8:
DEF est un triangle isocèle en D. E’ est le symétrique de E par rapport D.
Démontrer que le triangle EFE’ est rectangle en F.
On sait que E’ est le symétrique de E par rapport D.
Propriété : Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu du segment par par un point et son symétrique.
Donc les points E, D et E’ sont alignés et DE = DE’.
On sait que la médiane [DF] relative au côté [EE’] mesure la moitié de ce côté.
Propriété : Dans un triangle, si la médiane relative à un côté mesure la moitié de la longueur de ce côté, ce triangle est rectangle.
Donc le triangle EFE’ est rectangle en F.
Exercice 9:
(C) est un cercle de centre O. A et M sont deux points de (C) non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à (AM) recoupe (C) en B.
a. Faire une figure.
b. Démontrer que O est le milieu de [AB].
N est un autre point du cercle (C).
c. Démontrer que ANB est un triangle rectangle.
a-
b. Démontrer que O est le milieu de [AB].
On sait que le cercle de centre O est le cercle circonscrit du triangle ABM rectangle en M.
Propriété : Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit.
Donc O est le milieu de l’hypoténuse [AB].
N est un autre point du cercle (C).
c. Démontrer que ANB est un triangle rectangle.
On sait que le cercle de diamètre [AB] est le cercle circonscrit du triangle ABN.
Propriété : Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.
Donc le triangle ABN est rectangle en N