RAPPEL : On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle.
Son centre est toujours le point de concours des médiatrices des 3 côtés de ce triangle.

I. Cercle circonscrit à un triangle rectangle

Théorème :

SI un triangle est rectangle, ALORS le milieu de son hypoténuse est le centre de son centre circonscrit.

Dans ce cas, son hypoténuse est le diamètre de son cercle circonscrit.
On a : OA = OB = OC : le milieu de l’hypoténuse est équidistant des 3 sommets.

II. Triangle rectangle et Médiane

Propriété :

SI un triangle est rectangle, ALORS la médiane relative à son hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur de son hypoténuse.

III. Caractérisation d’un triangle rectangle 

Réciproque du théorème du cercle circonscrit à un triangle rectangle

SI un triangle est inscrit dans un cercle , et si un de ses côtés est un diamètre de ce cercle, ce triangle est rectangle et son hypoténuse est un diamètre du cercle.

On dit aussi :
Si trois points sont sur un cercle, et si deux de ces points forment un diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle et il a pour hypoténuse ce côté.

Application :
SI point M appartenant au cercle de diamètre [BC], alors le triangle BMC est rectangle en M.

IV. Théorème de la médiane dans un triangle rectangle 

Propriété :

Si une médiane relative à un côté d’un triangle mesure la moitié de ce côté, ce triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse.

On dit aussi:
Si le milieu d’un côté est équidistant des trois sommets, alors le triangle est rectangle.

Application :
SI un point O est le milieu de [AB] et si OA = OB = OC, alors le triangle ABC est rectangle en C et [AB] est un diamètre de son cercle circonscrit.