Norme d’un vecteur

1- Calcul de la distance AB

Dans un repère orthonormé on considère les points 𝑨( 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ) 𝑩( 𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ) .
La distance entre les points A et B est :

Exemple :
Dans un repère orthonormé on donne A (– 2 ; 3) et B (1 ; 5)

Démonstration :

On suppose comme sur la figure ci-contre que 𝑥𝐴 ≥  𝑥𝐵 et 𝑦𝐴 ≥ 𝑦𝐵
Soit C le point tel que 𝑥𝐶 = 𝑥𝐵 et 𝑦𝐶= 𝑦𝐴

Le triangle ABC est rectangle en C En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle ABC on peut écrire :
AB² = AC² + BC²
Comme AC = 𝑥𝐶 – 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵– 𝑥𝐴
et BC = 𝑦𝐵 – 𝑦𝐶 = 𝑦𝐵 – 𝑦𝐴
on a : AB² = (𝑥𝐵 – 𝑥𝐴 )² + (𝑦𝐵 – 𝑦𝐴 )²
et comme AB est positif
AB = √((𝑥𝐵 – 𝑥𝐴 )² + (𝑦𝐵– 𝑦𝐴)²)

2- Norme d’un vecteur

Dans un repère orthonormé on considère les points 𝑨( 𝒙𝑨 ; 𝒚𝑨 ) , 𝑩( 𝒙𝑩 ; 𝒚𝑩 ) et 𝒖⃗ (𝒙 ; 𝒚).
La norme du vecteur 𝐀𝐁⃗ se note ‖𝑨𝑩⃗‖ et, est égale à la distance AB :
‖𝑨𝑩⃗‖ = 𝑨𝑩 = √((𝒙𝑩– 𝒙𝑨)² + (𝒚𝑩 – 𝒚𝑨)²)
La norme du vecteur 𝒖⃗ se note ‖𝒖⃗‖ et est égale à :

Exemple 1 : Dans un repère orthonormé Les coordonnées des points A et B sont A (– 2 ; 3) et B (1 ; 5). La norme du vecteur AB est :

Exemple 2 : Dans un repère orthonormé les coordonnées du vecteur 𝑢⃗ sont 𝑢⃗ (4 ; 3).
La norme du vecteur 𝑢⃗ est :
‖𝑢⃗‖ = √4² + 3² = √16 + 9 = √25 = 5
‖𝑢⃗‖ = 5

Exercice 1:

A(5 ; 3) B(–4 ; 3) C(7 ; –5) D(–9 ; –4) E(0 ; 5) F(0 ; –3)
b. Calculer les longueurs suivantes des segments ou des vecteurs suivants (en cm, arrondies au dixième) :

Solution

Exercice 2:

On considère les points A(1 ; 5), B(3 ; 8) et C(9 ; 4).
Montrer que le triangle ABC est rectangle.

Solution

D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. Calculer la norme d’un vecteur