Le cours et les exercices corrigés sur les angles au centre .
Rappel de cours
Définition
Dans le cercle C, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle C.
Exemple
En reprenant le même cercle que précédemment, voici quelques exemples d’angles au centre :
(1) : L’angle au centre AÔB qui intercepte l’arc de cercle AB.
(2) : L’angle au centre BÔC qui intercepte l’arc de cercle BC.
(3) : L’angle au centre AÔC qui intercepte l’arc de cercle AC.
Propriété
Dans un cercle, si un angle au centre intercepte le même arc de cercle qu’un angle inscrit, alors sa mesure est le double de celle de l’angle inscrit.
Exemple :
Soit le cercle de centre O. A, B, C et D sont quatre points de ce cercle.
L’angle au centre AÔC intercepte le même arc de cercle AC que l’angle inscrit ADC donc nous avons.
Exercices corrigés :
Exercice 1:
Le cercle ci-contre a pour centre O.
[NR] est un diamètre et POR = 110°.
1. Déterminer la mesure de l’angle PMR.
2. Quelle est la mesure de l’angle RMN ?
3. Calculer la mesure de l’angle NMP .
4. Calculer la mesure de l’angle NRP.
Exercice 2:
Sur la figure ci-contre, les droites (BE) et (CN) se coupent en R, point d’intersection des cercles (C1) et (C2).
Le point O est le centre du cercle (C1).
On donne CAE = 62° .
1. Calculer la mesure de l’angle CRE .
2. Calculer la mesure de l’angle BRN .
3. Calculer la mesure de l’angle BON .
1. Calculer la mesure de l’angle CRE.
Les angles CRE et CAE sont inscrits sur le même arc de cercle : ils sont égaux : CRE = CAE = 62°
2. Calculer la mesure de l’angle BRN.
Les angles BRN et CRE sont opposés par le sommet : ils sont égaux : BRN = CRE = 62° .
3. Calculer la mesure de l’angle BON.
L’angle au centre BON vaut le double de l’angle inscrit BRN construit sur le même arc : BON = 2BRN = CRE = 2×62 = 124°
Exercice 3:
OKAPI est un pentagone régulier de centre Z.
1. Déterminer la mesure de chaque angle au centre.
2. Quelle est la mesure de l’angle OKA ?
3. Calculer la mesure de l’angle OIA.
4. Calculer la mesure de l’angle OPK .
1. Déterminer la mesure de chaque angle au centre.
Le polygone OKAPI est régulier donc chaque angle au centre est égal à : 360/5 = 72°
2. Quelle est la mesure de l’angle OKA ?
L’angle inscrit OKA vaut la moitié de l’angle au centre OZA construit sur le même arc :
OKA = (1/2)×OZA = (3×72) / 2 = 180°
3. Calculer la mesure de l’angle OIA.
L’angle inscrit OIA vaut la moitié de l’angle au centre OZA construit sur le même arc :
OIA = (1/2)×OZA = (2×72) / 2 = 72°
4. Calculer la mesure de l’angle OPK.
L’angle inscrit OPK vaut la moitié de l’angle au centre
OZK construit sur le même arc :
OPK = (1/2)×OZK = 72 / 2 = 36°
Exercice 4:
O est le centre du cercle.
Le but de l’exercice est de déterminer la mesure d’un certain nombre d’angles. Dans tous les cas, il faudra justifier la réponse. On pourra indiquer les mesures des angles sur la figure.
1. a. Quelle est la nature du triangle BCE ?
b. En déduire l’angle BEC .
2. a. Que peut-on dire des droites (BC) et (AD) ?
b. En déduire la mesure de l’angle DOE .
c. En déduire la mesure de l’angle AOE.
3. a. Quelle est la nature du triangle AEO ?
b. En déduire la mesure de l’angle AEO.
4. Calculer la mesure de l’angle OED.
1. a. Quelle est la nature du triangle BCE ?
Les points B, C et E sont inscrits sur un cercle de diamètre [BE]
, d’après la réciproque du théorème du cercle circonscrit, le triangle BCE est rectangle en C.
b. En déduire l’angle BEC.
La somme des angles du triangle BCE vaut 180° donc :
BEC = 180 – BCE – CBE 180 – 90 – 70 = 20°
2. a. Que peut-on dire des droites (BC) et (AD) ?
Les droites (BC) et (AD) sont perpendiculaires à la droite (CE) donc elles sont parallèles entre elles.
b. En déduire la mesure de l’angle DOE .
Sachant que (BC)//(AD) , les angles CBE et DOE sont correspondants et égaux : DOE = CBE = 70°
c. En déduire la mesure de l’angle AOE.
Propriété des angles supplémentaires :
AOE = 180 – DOE = 180 – 70 = 110°.
3. a. Quelle est la nature du triangle AEO ?
[OA] et [OE] sont deux rayons du cercle et sont de même longueur
Le triangle AEO est isocèle en O et AEO = EAO
b. En déduire la mesure de l’angle AEO.
La somme des angles du triangle AEO vaut 180° donc :
2×AEO = 180 – AOE = 180 – 110 = 70°
ainsi : AEO = 70/2 = 35°
4. Calculer la mesure de l’angle OED.
Les angles OED et BED sont égaux.
L’angle inscrit BED vaut la moitié de l’angle au centre BOD construit sur le même arc.
Propriété des angles supplémentaires :
BOD = 180 – DOE = 180 – 70 = 110°
Ainsi : OED = BED = (1/2)× BOD = 110/2 = 55°
Exercice 5:
ABCDEFGHIJ est un décagone régulier de centre O.
1. Déterminer la mesure de chaque angle au centre.
2. Quelle est la mesure de l’angle EFG ?
3. Calculer la mesure de l’angle GCJ.
4. Calculer la mesure de l’angle CJE.Angles au centre
1. Déterminer la mesure de chaque angle au centre.
Angle au centre d’un polygone régulier à 10 faces :
360/10 = 36°
2. Quelle est la mesure de l’angle EFG?
L’angle inscrit EFG vaut la moitié de l’angle au centre EOG construit sur le même grand arc EG : EFG = (1/2)×EOG = (8×36)/2 = 144°
3. Calculer la mesure de l’angle GCJ.
L’angle inscrit GCJ vaut la moitié de l’angle au centre GOJ construit sur le même arc GJ :
GCJ = (1/2)×GOJ = (3×36)/2 = 54°
4. Calculer la mesure de l’angle CJE.
L’angle inscrit CJE vaut la moitié de l’angle au centre COE construit sur le même arc CE :
CJE = (1/2)×COE = (2×36)/2 = 36°
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