I− NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS

ATTENTION : Certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. On dit qu’ils sont irrationnels.

Exemples : √2 et π sont des nombres irrationnels.

II − DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER.

a. Diviseurs d’un nombre entier :

Définition :

Soit a et b deux nombres entiers.
On dit que b est un diviseur de a quand la division de a par b donne un nombre entier.

Exemples :

Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
12 : 1 = 12             12 : 2 = 6              12 : 3 = 4

12 : 4 = 3              12 : 6 = 2               12 : 12 = 1

12 : 12 = 1

Par contre, 5 et 7 ne sont pas des diviseurs de 12 :
12 : 5 = 2,4

12 : 7 ≈ 1,714285714….

b. Nombres premiers :

Définition :

On dit qu’un nombre est premier s’il ne possède que deux diviseurs : 1 et lui-même.

Exemple : Les diviseurs de 31 sont : 1 et 31.

III − DIVISEURS COMMUNS A DEUX NOMBRES ENTIERS.

a. Diviseurs communs à deux nombres entiers :

Définition :

On dit qu’un nombre est un diviseur commun de deux nombres a et b s’il divise à la fois a et b.

Exemple : Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12
Les diviseurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9 et 18
Ainsi les diviseurs communs à 12 et 18 sont : 1, 2, 3 et 6

b. PGCD :

Définition :

On appelle PGCD le Plus Grand Diviseur Commun (ou « Commun Diviseur ») à deux nombres entiers.

Exemple : Ci-dessus, nous avons vu que les diviseurs communs à 12 et 18 sont : 1, 2, 3 et 6
Le PGCD de 12 et 18 est 6
On écrit : PGCD (12 ; 18) = 6.

c. Nombres premiers entre eux :

Définition :

On dit que deux nombres sont premiers entre eux quand ils ont pour unique diviseur commun 1.
Cela revient à dire que leur PGCD est 1.

Exemple : Les nombres 15 et 22 sont-ils premiers entre eux ?
15 a pour diviseurs : 1, 3, 5 et 15.
22 a pour diviseurs : 1, 2, 11 et 22.
L’unique diviseur commun de 15 et 22 est 1 : PGCD (15 ; 22) = 1    → Ils sont premiers entre eux.

Exemple : Les nombres 15 et 48 sont-ils premiers entre eux ?
15 a pour diviseurs : 1, 3, 5 et 15  → il n’est pas premier.
48 a pour diviseurs : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 23  → il n’est pas premier.
Le PGCD de 15 et 48 est égal à 3 : PGCD (15 ; 48) = 3  → Ils ne sont pas premiers entre eux.

Remarque : 1 n’admet qu’un seul diviseur : lui-même. Il n’est pas considéré comme un nombre premier.

Quelques nombres premiers : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61…

IV− ALGORITHME D’EUCLIDE – CALCUL DE PGCD.

a. Division euclidienne :

On appelle DIVISION EUCLIDIENNE la division dans laquelle le dividende, le diviseur et le quotient et le reste sont des nombres entiers.

Dividende = diviseur × quotient + reste
86 = 3 × 28 + 2
Cette division se résume à l’égalité suivante : 86 – 3 × 28 = 2
« Dans 86, il y a 3 fois le nombre 28, et il reste 2 »
En règle générale : a = bq + r donc a – bq = r
« Dans a, il y a q fois le nombre b, et il reste r 

Exemple (à la machine) : division euclidienne de 785 par 13 :
On calcule le quotient : 785 : 13 ≈ 60,3846… Donc le quotient q = 60.
On calcule le reste : 785 – 13 × 60 = 5. Donc le reste r = 5.
Ainsi : 785 = 13 × 60 + 5.

METHODE :

Pour des grands nombres, la recherche des diviseurs peut être longue et fastidieuse.
• On fait une succession de divisions euclidiennes du diviseur par le reste jusqu’à obtenir un reste nul.
• Le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple : On cherche le PGCD des nombres 1209 et 899 : On divise le « grand » par le « petit » :

• Le dernier reste non nul est 31, donc PGCD (1 209 ; 899) = 31.

V− FRACTIONS IRREDUCTIBLES.

Le PGCD sert essentiellement à simplifier des écritures fractionnaires pour les rendre directement irréductibles.

Définition :

Une fraction est dite irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.