Introduction
La médiatrice d’un segment en 6ème revêt une importance fondamentale dans la compréhension de la géométrie. Elle permet de développer la notion de symétrie et d’équidistance.
En construisant la médiatrice d’un segment, les élèves apprennent à utiliser des outils géométriques, comme l’équerre et le compas, et à appliquer des concepts mathématiques de manière concrète.
Rappel de cours
ß. Médiatrice d’un segment :
1. Définition et construction
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.
Construction
1. On ouvre le compas d’une longueur égale à au moins la moitié de AB (AB est l’idéal).
2. On pique sur l’une des extrémités et on trace un arc de cercle de chaque côté du segment [AB].
3. On répète l’étape précédente, mais en piquant sur l’autre extrémité et sans changer l’ouverture du compas.
4. Ces 4 arcs de cercle doivent se couper en deux points que l’on relie : c’est la médiatrice! Si les arcs ne se coupent pas, il faut répéter les étapes 2 et 3 afin de les prolonger.
2. Propriétés de la médiatrice
• Si un point se trouve sur la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant (= à égale distance) de ses extrémités .
• Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la médiatrice de ce segment.
Exercices corrigés :
Exercice 1:
De quel autre segment la droite rouge est-elle la médiatrice?
La droite (d) est aussi la médiatrice du segment [AB] et pour la
même raison : d’après le codage, (d) passe par le milieu de [AB] et est perpendiculaire à [AB].
Exercice 2:
On donne la figure ci-contre dans laquelle M ∈ (d). Prouver que AMB est un triangle isocèle en M.
D : (d) est la médiatrice du segment [AB] (d’après le codage).
P : D’après la propriété de la médiatrice, on a :
C : MA = MB, donc AMB est un triangle isocèle en M.
Exercice 3:
On donne la figure ci-contre. Prouver que le triangle MIB est rectangle en I.
D : AM = MB (d’après le codage) et AI = IB (codage aussi).
P : D’après la propriété de la médiatrice, on a :
C :M et I se trouvent sur la médiatrice sur [AB], donc (MI) est la médiatrice, ce qui entraîne que (MI) ⊥ (IB) et donc le triangle MIB est rectangle en I.
Exercice 4:
Indiquer dans chaque cas si la droite (d) est la médiatrice du segment [AB] et en donner les raisons. Tracer en rouge la médiatrice lorsque ce n’est pas (d).
Exercice 5:
1- Tracer deux cercles de même rayon qui se coupent en M et en N.
2-Tracer le segment qui joint les centres A et B de ces deux cercles.
3-Tracer la droite (MN).
4-Que semble représenter la droite (MN) pour le segment [AB]?
5-Que semble représenter la droite (AB) pour le segment [MN]?
4- (MN) est la médiatrice de [AB].
5-(AB) est la médiatrice de [MN].
Exercice 6:
1- Tracer un segment [AB] puis sa médiatrice (d).
2-Quel est le symétrique de A par rapport à (d)?
3-Quel est le symétrique de B par rapport à (d)?
4-Placer un point K sur (d) et n’appartenant pas à [AB]. Quel est le symétrique de K par rapport à (d)?
5-Que peut-on dire des longueurs KA et KB ?
6-Que peut-on dire du triangle BAK?
1-
2-Le symétrique de A par rapport à (d) est B.
3-Le symétrique de B par rapport à (d) est A.
4-
K est son propre symétrique par rapport à (d) (car K appartient à l’axe de symétrie).
5- KA=KB
6-Le triangle BAK est isocèle car AK = BK (longueurs de segments symétriques)
Exercice 7:
1-Tracer un cercle de centre O et de rayon 4 cm.
2-Tracer un diamètre [AB] de ce cercle.
3-Tracer la médiatrice (D) de [OA], puis tracer le symétrique B’ de B par rapport à (D). Quelle est la longueur de [BB’]?
Si I est le milieu de [OA], on a :
OI = IA = 2 cm. et BI = IB’ = 6 cm.
Donc BB’ = 12 cm.
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