0. RAPPELS

      c. Vocabulaire :

L’addition de deux expressions est appelée une somme de deux termes.
La soustraction de deux expressions est appelée une différence de deux termes.
La multiplication de deux expressions est appelée un produit de deux facteurs.
La division de deux expressions est appelée un quotient de deux facteurs.

I. MULTIPLICATION DE NOMBRES RELATIFS

1) Multiplication de deux nombres relatifs

Propriété :

• Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif (– par – ou + par +).
• Le produit de deux nombres de signe différent est un nombre négatif (+ par – ou – par +).

Exemples :

(+4) × (+7) = (+28)

(+4) × (–7) = (–28)

(–4) × (–7) = (+28)

(–4) × (+7) = (–28)

Propriétés : Cas particuliers

Le produit d’un nombre relatif par 1 est égal à ce nombre.
Le produit d’un nombre relatif par –1 est égal à l’opposé de ce nombre.
Le produit d’un nombre relatif par 0 est égal à 0.

Soit a un nombre relatif :

a × 1 = 1 × a = a

a × (–1) = (–1) × a = –a

a × 0 = 0 × a = 0

Exemples :

(-4) × 1 = -4

(-1) × 5 = –5

(–1) × (–7) = 7

(–4) × 0 = 0

Propriétés : Ecritures simplifiées

• Dans un produit de nombres relatifs, les parenthèses peuvent être supprimées :

– autour du premier nombre relatif,
– autour d’un nombre relatif noté sans le signe +

Exemples :

(+4) × (+6) = 4 × 6 = 24

(–4) × (–6) = –4 × (–6) = 24

(+4) × (–6) = 4 × (–6) = –24

(–4) × (+6) = –4 × 6 = –24

2) Généralisation :

C’est le nombre de facteurs négatifs dans un produit qui en fixe le signe.
Un produit de plusieurs nombres relatifs non nuls est :

• Positif s’il y a un nombre pair de facteurs négatifs.
• Négatif s’il y a un nombre impair de facteurs négatifs.

Exemples :

(–7) × (–5) × (+2) = +70

(–2) × (–3) × (–7) = –42

3) Calculs astucieux :

Il s’agit lors d’un produit de facteurs de regrouper des facteurs pour simplifier les écritures.
Exemple :

A = − 25 × (-179) × (-4)

A = − 25 × 179 × 4  →  on détermine d’abord le signe du résultat pour simplifier les écritures.

A = − 25 × 4 × 179    → on rapproche le 4 du 25 car  25 × 4 = 100

A = − 100 × 179

A = − 17900

II. DIVISION

a. Définition :

Le quotient de a par b (avec b≠0) est le nombre x qui, multiplié par b donne a. On le note a/b (ou a : b )

Ainsi  : b ×( a/b) = a.

Exemple :     (3/7) × 7 = 3

b. Signe d’un quotient :

Le quotient de deux nombres de même signe est positif.

Exemple :

(-4) / (-5)  = 4/5 = 0,8

Le quotient de deux nombres de signes différents est négatif.

Exemple :

(-3) / 4 =3 / (-4) = -(3/4) = -0,75

III. PRIORITE DES CALCULS AVEC LES NOMBRES RELATIFS

Propriété :

Pour calculer une expression contenant des parenthèses :
– On effectue d’abord les calculs entre les parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures
– Ensuite la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.

Exemple :
A = 5 – (4 – 3 × (2+9)) = 5 – (4 – 3 ×11) = 5 – (4 – 33) = 5 – (– 29) = 5 +29 = 34

Remarque :

A l’intérieur des parenthèses les plus intérieures, la multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
Si une expression ne contient que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs dans l’ordre d’écriture, de la gauche vers la droite.

IV. CALCUL DE LA VALEUR D’UNE EXPRESSION LITTERALE

Une expression littérale contient des valeurs inconnues que l’on nomme en utilisant une lettre de l’alphabet (souvent x, parfois y, t, …).

Propriété :

Pour calculer une expression littérale, on remplace chaque lettre par la valeur proposée dans l’énoncé.

Exemple : Calculer l’expression : A = x² + 3(x + 2) + 6x  pour x = – 3
→  On remplace chaque lettre par la valeur –3 :

A = (–3)² + 3((–3) + 2) + 6 × (–3)
A = (–3)² + 3 × (–1) + 6 × (–3)
A = 9 – 3 – 18
A = 6 – 18
A = – 12