Problèmes sur le théorème de Pythagore
Le problème sur le théorème de Pythagore en 4ème .
Rappel de cours
I. Théorème de Pythagore
• Définition
Si un triangle est rectangle,
alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit.
SI un triangle ABC est rectangle en A,
ALORS : AB² + AC² = BC²
Exemple 1 : Calculer la longueur de l’hypoténuse
On sait que le triangle ENT est rectangle en N. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
ET² =NT²+NE²
En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :
ET² = 92 +72
ET² = 81+49
ET² = 130
En utilisant la touche √ de la calculatrice, on trouve :
ET= √130 ≈ 11,4
Donc la longueur du côté [ET] est 11,4 environ.
II. Réciproque du théorème de Pythagore
• Définition
SI un triangle ABC est tel que AB² + AC² = BC²,
ALORS il est rectangle en A.
(c’est à dire « si le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés, alors le triangle est rectangle. »)
Exemple : Démontrons que ce triangle est rectangle
Le côté le plus long est [MT] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.
D’une part, on a : MT² = 202 = 400.
D’autre part, on a : EM²+ET² = 16²+12² = 256+144= 400.
On constate que : MT² =EM² + ET².
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ETM est rectangle en E.
Exercices corrigés
Exercice 1:
Exercice 2:
ABC est un triangle isocèle en A avec AB = AC = 6 cm et BC = 5 cm.
a. Construire ce triangle et sa hauteur [AH].
b. Calculer la hauteur AH (arrondie au dixième).
Exercice 3:
DABCD est un rectangle, AB = 3 cm et BC = 10 cm et I est le point du coté [BC] tel que BI = 1 cm.
a. Faire une figure.
b. Calculer AI² et DI².
c. Montrer que le triangle AID est rectangle en I.
Exercice 4:
ABCDEFGH est un pavé droit de longueur 4 cm, de largeur 3 cm et de hauteur 12 cm.
Calculer la longueur EG puis la diagonale AG.
Exercice 5:
(OC) est la hauteur du triangle BCD issue de C.
Le but de l’exercice est de déterminer l’aire du triangle BCD.
1. a. Calculer la longueur OB.
b. Calculer la longueur OC.
c. Calculer la longueur OD.
2. En utilisant les résultats du 1., calculer l’aire du triangle BCD.
On rappelle la formule : Aire = (b×h)/2
Exercice 6:
ABC est un triangle rectangle en A. (AH) est la hauteur issue du sommet de l’angle droit.
1. a. Exprimer l’aire de ce triangle en fonction de AB et AC.
b. Exprimer l’aire de ce triangle en fonction de AH et BC.
c. En déduire une égalité faisant intervenir AB, AC, BC et AH.
2. Calculer la hauteur AH pour le triangle ABC rectangle en A :
AB = 4 cm AC = 3 cm BC = 5 cm
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