Rappels : Triangle rectangle

On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A.
BÂC est l’angle droit.
[AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit.
[BC] est l’hypoténuse.

Remarque : Dans un triangle rectangle, le côté opposé au sommet de l’angle droit est appelé hypoténuse ; c’est le côté le plus long du triangle .

I. Théorème de Pythagore

• Définition

Si un triangle est rectangle,
alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés de l’angle droit.

SI   un triangle ABC est rectangle en A,
ALORS     :  AB² + AC² = BC²

          Exemple 1 : Calculer la longueur de l’hypoténuse

On sait que le triangle ENT est rectangle en N. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

ET² =NT²+NE²

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :

ET² = 92 +72
ET² = 81+49
ET² = 130

En utilisant la touche √ de la calculatrice, on trouve :

ET= √130 ≈ 11,4

Donc la longueur du côté [ET] est 11,4 environ.

          Exemple 2 : Calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

On sait que le triangle MAG est rectangle en G. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

MA² =GM²+GA²

En remplaçant les longueurs connues par leurs valeurs, on obtient :

13² =GM²+5²
169=GM²+25
GM² = 169−25
GM² = 144

En utilisant la touche √ de la calculatrice, on trouve :

GM=√44= 12

Donc la longueur du côté [GM] est 12.

Remarque : Conséquence de la propriété :
Si le carré du plus grand coté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres cotés, alors le triangle n’est pas rectangle.

II. Réciproque du théorème de Pythagore

• Définition

SI un triangle ABC est tel que  AB² + AC² = BC²,
ALORS il est rectangle en A.
(c’est à dire « si le carré du coté le plus long est égal à la somme des carrés des 2 autres cotés, alors le triangle est rectangle. »)

          Exemple : Démontrons que ce triangle est rectangle

Le côté le plus long est [MT] ; si le triangle était rectangle, ce côté serait l’hypoténuse.
D’une part, on a :  MT² = 202 = 400.
D’autre part, on a  : EM²+ET² = 16²+12² = 256+144= 400.
On constate que  : MT² =EM² + ET².
Donc, d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ETM est rectangle en E.