I. Inéquations du premier degré a une inconnue

1- Vocabulaire

– Définition

Une inéquation à une inconnue x est une inégalité de deux expressions littérales appelés les membres de l’inéquation.

              Exemple :  Soit l’inéquation : x + 3<5
Cette inégalité est soit vraie, soit fausse, selon les valeurs de x.
               Exemple :
                  Si x = 1, l’inéquation précédente est vraie. → 1 n’est pas solution de l’inéquation x + 3<5
                 Si x = 6, l’inéquation précédente est fausse. → 6 est solution de l’inéquation x + 3<5

Résoudre une inéquation, c’est trouver toutes ses solutions (toutes les valeurs possibles de x qui rendent l’inégalité vraie).

2- Inéquations du premier degré :

– Définition

Une inéquation est dite du premier degré à une inconnue x lorsqu’elle peut s’écrire sous l’une des formes :
ax + b < cx + d           ;              ax + b > cx + d 

ax + b ≤ cx + d           ;              ax + b ≥ cx + d 
(a, b, c, d, désignant des nombres avec a≠c)

Pour résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue, on isole x dans un membre à l’aide des propriétés suivantes :

– Propriété 1 :

Si on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres d’une inéquation, alors on ne change pas le sens de l’inégalité et on obtient une nouvelle inéquation qui a les mêmes solutions que la première.

– Propriété 2 :

• Si on multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre strictement positif (nombre positif non nul) alors on ne change pas le sens de l’inégalité et on obtient une nouvelle inéquation
qui a les mêmes solutions que la première.

• Si on multiplie ou on divise les deux membres d’une inéquation par un même nombre strictement négatif (nombre négatif non nul) alors on change le sens de l’inégalité et on obtient une nouvelle inéquation qui a les mêmes solutions que la première.

3- Représentation des solutions sur une droite graduée :

Les solutions sont représentées en couleur, et le crochet aux bornes de l’espace solution est orienté vers la couleur si la borne fait partie des solutions, et est orienté de l’autre côté si la borne n’est pas admise.