I- L’ensemble des nombres entiers naturels Ν :

Définition :

Tout les nombres entiers naturels composent un ensemble. On note : Ν ,
et on écrit :  Ν = { 0,1, 2,…}

Vocabulaire et symbole :

– Le nombre 0 est le nombre entier naturel nul.
– Les nombres entiers naturels non nuls composent un ensemble, nous le notons par le symbole :
– Ν* = { 1, 2,…} est l’ensemble des entiers naturels non nuls .
– 7 est un nombre entier naturel, on écrit : 7 ∈ Ν
– (-7) n’est pas un nombre entier naturel, on écrit : –7 ∉ Ν

Exemples :

𝟐 ∈ ℕ    ;   𝟐𝟎𝟏𝟗 ∈ ℕ* ;   −𝟔 ∉ ℕ   ;   𝟎 ∉ ℕ*

II- Les nombres paires et impaires :

Définition :

• a est un nombre entier naturel paire, s’il existe un entier naturel k tel que : a = 2k
• a est un nombre entier naturel impaire, s’il existe un entier naturel k tel que : a = 2k+1

Exemples :

➢ 220 est un nombre pair car 𝟐𝟐𝟎 = 𝟐 × 𝐤 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤 = 𝟏𝟏𝟎
➢ 2019 est un nombre impair car 𝟐𝟎𝟏𝟗 = 𝟐 × 𝐤 + 𝟏 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤 = 𝟏𝟎𝟎𝟗
➢ Le nombre 𝟔𝐧 + 𝟏𝟎 tel que 𝐧 ∈ ℕ est un nombre toujours pair car
𝟔𝐧 + 𝟏𝟎 = 𝟐(𝟑𝐧 + 𝟓) avec 𝐤 = (𝟑𝐧 + 𝟓)

Propriété :

Exemples :

• L’entier 𝒏(𝒏 + 𝟏) est pair car il est produit de deux entiers consécutifs
• L’entier (𝒏 + 𝟓)(𝒏 + 𝟔) est pair car il est produit de deux entiers consécutifs
• L’entier (𝟓𝒏 + 𝟏𝟎)(𝟓𝒏 + 𝟏𝟏) est pair car il est produit de deux entiers consécutifs

Preuve de 𝒏(𝒏 + 1) est pair :
n est un entier naturel donc n soit un nombre pair ou bien un nombre impair
Cas 1 :
Si n est pair alors : 𝒏 = 𝟐𝒌 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒌 ∈ ℕ
On remplace n dans 𝒏(𝒏 + 1)
𝒏(𝒏 + 𝟏) = 𝟐𝒌(𝟐𝒌 + 𝟏) = 𝟐𝒑 , 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒑 = 𝒌(𝟐𝒌 + 𝟏)
Donc 𝒏(𝒏 + 𝟏) est pair
Cas 2 :
Si n est impair alors : 𝒏 = 𝟐𝒌 + 𝟏 ; 𝒌 ∈ ℕ
On remplace n dans 𝒏(𝒏 + 1)
𝒏(𝒏 + 𝟏) = (𝟐𝒌 + 𝟏)(𝟐𝒌 + 𝟏 + 𝟏) = (𝟐𝒌 + 𝟏)(𝟐𝒌 + 𝟐) = 𝟐(𝟐𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟏) = 𝟐𝒑 , 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒑 = (𝟐𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟏)
Donc 𝒏(𝒏 + 𝟏), est pair

III- Multiple et diviseur d’un nombre entier naturel :

1) Définition :

a et b deux éléments de ,On dit que 𝐚 est un multiple de 𝐛, s’il existe 𝐤∈ℕ tel que : 𝐚=𝐤×𝐛.

a : s’appelle le multiple de b
b : s’appelle le diviseur de a
k : s’appelle le rapport de a par b

Exemple :
30 = 2 × 15  : donc 30 : multiple de 15 // 15 : diviseur de 30 // 2 : Le rapport de 30 par 15

Remarque :
•  0 est un multiple de tous les nombres entiers naturels.
•  1 est un diviseur de tous les nombres entiers naturels.

2) Critères de divisibilité par 2,3,4,5 et 9

Soit n un entier naturel. On dit que n est divisible par :
• 2 si son chiffre des unités est : 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8
• 5 si son chiffre des unités est : 0 ou 5
• 3 ou 9 si la somme de ses chiffres forme un multiple de 3 ou 9.
• 4 si son chiffre des unités et son chiffre des dizaines forment un multiple de 4.

Exemples :

4725 : divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
4725 : divisible par 3 et par 9 car la somme de ses chiffres qui est 4+7+2+5=18 est un multiple de 3 et de 9.
1628 : divisible par 4 car 28 est un multiple de 4.
1628 : divisible par 2 car son chiffre des unités est 8.

IV- Nombres premiers

Définition :

Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est dite premier s’il possède deux diviseurs 1 et lui-même

Remarque :

• 1 n’est pas un nombre premier car il ne possède qu’un seul diviseur.
• 2 le seul nombre pair qui est premier.
• Pour étudier la primalité d’un nombre entier naturel n ; on cherche tous les nombres premiers p qui vérifient p≤√n . Si n est divisible par l’un de ces nombres , alors n n’est pas un nombre premier si non  est premier.

Exemple :

Le nombre 37 est-il premier ?

On a √37= 6,08 et les nombres premiers inférieur ou égal à √37 sont 2, 3 et 5. Or 37 n’est pas divisible par 2 ; 3 et 5 ; alors 37 est un nombre premier.

V- Décomposition en produit de facteurs premiers.

Théorème

Tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 admet une décomposition en produit de facteurs premiers.

Exemple :

30 = 2× 3 ×5  est une décomposition de 30 en produit de facteurs premiers.

VI- PGCD – PPCM

1) PGCD

a) Définition :  Soient a et b deux nombres entiers naturels non nuls. Le plus grand commun diviseur de a et b s’appelle le PGCD de a et b et se note PGCD (a , b) ou a∧b

Théorème

Soient a et b deux nombres entiers naturels. Le PGCD (a ,b) est le produit de facteurs premiers communs apparaissent à la fois dans la décomposition de a et b et affectés à une petite puissance.

Exemple :

b) Deux nombres entiers naturels premiers entre eux

Théorème

Soient a et b deux nombres entiers naturels. On dit que a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD (a ,b) = 1.

2) PPCM

Définition : Soient a et b deux nombres entiers naturels non nuls. Le plus petit commun multiple non nul de a et b s’appelle le PPCM de a et b et se note PPCM (a ,b)  ou a∨b

Théorème

Soient a et b deux nombres entiers naturels. Le PPCM (a ,b) est le produit de facteurs premiers communs et non communs apparaissent dans la décomposition de a et b et affectés à une grande puissance.

Exemple :