Fonction carré

I) Définition

La fonction carré est la fonction définie sur ℝ , qui à tout réel 𝒙 associe son carré 𝒙² :
𝒇 : 𝒙 ⟼ 𝒙²

II) Sens de variation de la fonction carré

1) Propriété :

La fonction 𝒇 : 𝒙 ⟼ 𝒙² est décroissante sur ]− ∞ ; 0 ] et croissante sur [0 ; + ∞ [

2) Conséquences

Si 𝒂 et 𝒃 sont deux réels positifs tel que 𝒂 ≤ 𝒃 alors 𝒂² ≤ 𝒃²
Si 𝒂 et 𝒃 sont deux réels négatifs tel que 𝒂 ≤ 𝒃 alors 𝒂² ≥ 𝒃²
Exemples :
3 ≤ 5 alors 3² ≤ 5² soit 9 ≤ 25
-5≤ -3 alors (-5)² ≥ (-3)² soit 25 ≥ 9

3) Tableau de variation de la fonction carré

La fonction a un minimum qui est 0

4) Parité de la fonction carré

a) Propriété
La fonction carré est une fonction paire
b) Démonstration :
Pour tout nombre réel 𝑥 :
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)² = +𝑥² = 𝑥² = 𝑓(𝑥)
Pour tout nombre réel 𝑥, 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) la fonction 𝑓 est donc paire.
c) Interprétation géométrique
La courbe représentative de la fonction carré est donc symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.

III) Courbe représentative de la fonction carré

1) Tableau de valeur :

2) Représentation graphique de la fonction carré:

3) Définition

Dans un repère orthogonal d’origine O la représentation graphique de la fonction carré est appelé parabole de sommet O

4) Propriété

Dans un repère orthogonal d’origine O la parabole représentant la fonction carré admet un axe de symétrie : L’axe des ordonnées.

Exercices corrigés

Exercice 1

Compléter le tableau :

Solution

Exercice 2

f est la fonction carrée. Déterminer les antécédents par f, lorsque cela est possible, de chacun des réels suivants :
a) 1          b) −4          c) 0         d) 5/4         e) 100

Solution

Exercice 3

Dans chaque cas, tracer la courbe de la fonction 𝒇 : 𝒙 ⟼ 𝒙² sur l’intervalle  [–3 ; 3].
– On rappelle que f est paire.
– On donne le tableau de valeurs de f sur [0;3]:     

– On rappelle que si 0 < x < 1 alors x² < x et si x > 1 alors x² > x   

Solution

Exercice 4

a. Construire le tableau de variation de la fonction 𝒇 : 𝒙 ⟼ 𝒙² définie sur l’intervalle  [–7 ; 2].
b. Quel sont le maximum et le minimum de f sur cet intervalle ?

Solution

Exercice 5

On considère la fonction 𝒇 : 𝒙 ⟼ 𝒙² définie sur l’intervalle  ]–∞ ; +∞[.
a. Quel est l’intervalle décrit par f (x) quand x ∈ [2 ; 6] ?
b. Quel est l’intervalle décrit par f (x) quand x ∈ [–8 ; 4] ?

Solution

Exercice 6

a. Représenter dans ce repère orthogonal (unité 1 carreau en abscisse, 1 carreau en ordonnée) la fonction 𝒇 : 𝒙 ⟼ 𝒙² sur l’intervalle  [–5 ; 5].

b. Résoudre graphiquement sur l’intervalle [–5 ; 5] les équations et
inéquations suivantes :
f (x) = 9
f (x) = 25
f (x) ≤ 4
f (x) > 16
c. Déterminer graphiquement des approximations de la/des solution/s
des équations suivantes :
f (x) = 12
f (x) = 20
Solution

a.

b.

c.