fonction linéaire

I- Définitions

• On appelle fonction linéaire de coefficient a toute fonction qui, à tout nombre noté x, associe le nombre a × x (c’est-à-dire x → a × x) où a est un nombre.

Remarques :
• Une fonction linéaire est une fonction affine particulière (cas où b = 0). Les fonctions linéaires traduisent des situations de proportionnalité.
• Lorsque a = 0, la fonction est une fonction constante : à tout nombre x, elle associe le nombre b.

Propriétés

• Tout nombre admet une unique image par des fonctions affines et linéaires.
• Tout nombre admet un unique antécédent par une fonction linéaire ou affine non constante.

Exemple 1 :
Soit la fonction f linéaire telle que f(x) = 2x.
a. Calcule l’image de 3 par la fonction f.
b. Calcule l’antécédent de 7 par la fonction f.

II – Détermination d’une fonction linéaire 

Exemple 1 : Détermine la fonction linéaire f telle que f(5) = 4.

III – Représentation graphique

Propriété

La représentation graphique d’une fonction affine g : x → a × x + b est une droite.
Dans le cas d’une fonction linéaire (b = 0), cette droite passe par l’origine du repère et par le point de coordonnées (1 ; a).

Exemple 1 : Représente graphiquement la fonction linéaire f définie par f(x) = − 0,5x.

Exemple 2 : Représente graphiquement la fonction affine g définie par : g(x )= 3x − 2.

Exercices corrigés

Exercice 1

Soit la fonction linéaire f : x → 5x.

– Quelle est l’image de 2 ? ……
– Quel nombre a pour image 50 ? ……
– Compléter :

f(50) = ……
f(……) = 5

Solution

Exercice 2

Soit la fonction linéaire f : x → ax.
a. Déterminer le coefficient de cette fonction pour que f(2) = -4.
b. Déterminer le coefficient de cette fonction pour que f(12) = -4.
c. Déterminer le coefficient de cette fonction pour que f(2) = 7.

Solution

La fonction linéaire f est définie par : f(x) = ax
a. Si f(2) = -4, alors : f(2) = a×2 = -4
Ce qui donne : a = -2 et f(x) = -2x
b. Si f(12) = -4, alors : f(12) = a×12 = -4
Ce qui donne : a = –1/3 et f(x) = -(1/3)x
c. Si f(2) = 7, alors : f(2) = a×2 = 7
Ce qui donne : a = 7/2 et f(x) = (7/2)x

Exercice 3

Représenter dans ce repère les fonctions linéaires suivantes :
– En bleu la fonction f : x → 2x
– En rouge la fonction g : x → -3x
– En vert la fonction h : x → (3/2) x
– En gris k : x → (- 1/4) x

Solution